赵新玉 田甜

[摘  要] 等差数列是学生探究数列的开始，无论是知识的学习，还是方法的探究，其对学生后续内容的学习都有着积极的指导意义. 文章以“等差数列（第1课时）”为例，尝试进行教学设计与教学反思，以发展学生的数学素养.

[关键词] 等差数列;教学设计;教学反思

生活中的等差数列无处不在，等差数列是学生探究数列的开始，无论是知识的学习，还是方法的探究，其对学生后续内容的学习都有着积极的指导意义.

教学设计

1. 教学目标

知识目标：理解等差数列概念，能在具体的问题情境中找出等差关系，初步掌握等差数列的证明方法.

过程与方法：经历等差数列概念的揭示，学会观察、分析、探索、归纳和推理等方法，树立函数与方程、合情推理等基本数学思想.

情感态度与价值观：通过引例激发学生的爱国热情;让学生在自主探索和合作交流的过程中感悟数学的内在美，从而激发学生的数学学习热情;通过对数列的深入研究，使学生认识事物的变化形态，养成细心观察、认真分析、善于总结的良好的思维习惯，进一步培养学生良好的个性品质.

2. 教学的重难点

重点：等差数列的概念和等差数列的判定.

难点：等差数列的“等差”特点及等差数列的证明.

3. 教学过程

（1）创设问题情境——引入概念.

引例1：（新闻录音）2001年北京时间7月13日22：10，此刻是中国体育史上永不磨灭的时刻，一个全国人民翘首以盼的特大喜讯降临中华大地——2008年第29届奥运会的主办权花落中国，花落北京. 这是我国自1992年以来历经9年、两次申办奥运会艰辛努力的成果，它向世界昭示：中国向体育大国又迈进了一大步.

奥运会每四年举行一次，你能倒推出第一届奥运会是哪一年吗？

引例2：为了便于与家长、同学联系，多数同学都备有手机. 某电信公司的一种计费标准是：通话时间不超过3分钟，通话费为0.2元，以后每分钟的通话费为0.1元，那么通话费由小到大的次序为： 0.2，0.2+0.1，0.2+0.1×2，0.2+0.1×3，….

对于通话次数多而长的同学，每月的话费较大，为了节省话费，某同学采用包月发短信的方式与家长联系.已知每月的短信包月费是10元（200条），若他每月发短信不超过200条，则他每月的短信费为多少元？

设计意图：这里对原教材的两个引例作了适当的修改，使问题情境更具生活化和现实意义，大大激发了学生的求知欲，为等差数列概念的学习创设了良好的学习氛围.

（2）学生活动——探求特征.

同学们，你能用精确的数学语言描述上面数列的共同特点吗？

学生通过讨论、交流，回答以下问题（问题组1），不断完善对等差数列概念的叙述.

问题组1：①1，3，5，6，12是等差数列吗？②1，3，4，5，6，7是等差数列吗？③1，2是等差数列吗？

设计意图：在概念的产生过程中培养学生的概括能力，通过反例的辨析，培养学生思维的严密性.

（3）建构数学理论——形成概念.

①等差数列的定义：一般地，若某数列从第二项起，每一项与前一项的差都等于同一个常数，则该数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差（常用字母“d”表示）.

②定义分析：第一，上述定义中的关键字或关键词是什么？ 第二，回到引例，请你分别说出相应数列的首项和公差. 第三，试想等差数列的公差的范围是什么，举例说明. 第四，当公差d=0时，这个等差数列是什么数列？当d>0，d<0时呢？（回到问题情境进行说明）

设计意图：回归引例，发挥问题情境的作用. 从引例出发，培养学生从特殊到一般的推理能力. 在解决问题的过程中，养成自主探究、合作、交流等良好的学习习惯.

③（幻灯片）关于等差数列的数学史：在1858年，蘇格兰埃及学家发现，大约在公元前1650年的莱因德纸草书上就记载着等差数列，即10人要分10斗玉米，从第二人开始，每人所得玉米依次比前一人少. 在我国出土于春秋至战国时代楚国的铜环权的重量大致是按等差数列来配置的，我国古代数学名著《周髀算经》（公元前2世纪）上有“七衡图”[1]……这些都记载着人们当时研究等差数列的成果，被赞誉为“数字推理的第一思维”.

设计意图：通过融入数学史，渗透数学传统文化，以此来激发学生对等差数列的探究兴趣，培养学生的数学精神.

（4）等差数列的等价形式.

问题组2：①上述定义用的是文字语言，用符号语言怎么表示？（a-a=d）

②n应满足什么条件？（n≥2，n∈N*）

③若n∈N*对所有等式都成立，则a-a=d可以改为何种形式？两式的共性是什么？（a-a=d）

④我们能否跳出关于d的思维定式，得到其他的变形公式？

设计意图：通过对问题组2的思考，学生充分认识了用符号语言表示的等差数列，学会了自然语言、文字语言和符号语言之间的相互转化.

结论：等差数列{a}？圳a-a=d（n≥2，n∈N*）？圳a=a+d（n≥2，n∈N*）？圳a-a=a-a（n≥2，n∈N*），即a=.

强调：等差数列{a}？圳a-a=d（n≥2，n∈N*）？圳a=中“？圳”的可逆性. 从左到右是等差数列的性质，从右到左是等差数列的判定.

（5）数学运用——巩固新知.

例1 （抢答题）判断下列数列是否为等差数列，若是，请指出此数列的首项和公差.

①1，1，1，1;

②4，7，10，13，16;

③-3，-2，-1，1，2，3.

设计意图：让学生加深对等差数列概念的理解.

例2 求出下列等差数列中的未知项：①3，a，5;②3，b，c，-9.

设计意图：逆用等差数列的定义来解决问题，深刻理解定义的可逆性和变形公式.

例3 已知数列{a}的通项公式是a=2n-1，则{a}是等差数列吗？若是，请证明;若不是，请说明理由. 追问：若通项公式是a=kn+b呢？

设计意图：学会等差数列的判定和证明，并初步认识等差数列通项公式与一次函数的关系，为后续的关系研究做好必要的准备.

例4 （探究题）等差数列{a}的公差是d，那么下列数列是否是等差数列？如果是等差数列，请说出它们的公差.

①ka，ka，ka，…，ka，…;②a+a，a+a，a+a，a+a，…，a+a，….

③你能在等差数列{a}的基础上继续构造出新的等差数列吗？这些等差数列有何规律？

设计意图：加深对等差数列概念的理解，掌握等差数列的判定方法和分类讨论思想. 以开放题的形式研究问题，培养学生的发散性思维和归纳推理的能力.

（6）回顾反思——提高认识.

提出问题：这节课你学到了什么？请大家积极回答，互相补充，共同提高.

设计意图：培养学生从三维目标上进行概括总结. 通过总结，提高学生的概括能力、表达能力和合作探究能力.

教学反思

1. 灵活处理新教材

教材是无声的，教师切不可照抄照搬，信奉“拿来主义”;教师应该“因地制宜”，在充分理解和深刻领会教材的设计意图的基础上，加以个性化改编，让素材更引人入胜[2]. 比如，本课中关于通话费、短信费的设计要因地因时而异，因此可以进行相应的调整;问题情境中举例的等差数列都是递增的，不利于概括等差数列的共性，因此通过倒推奥运会举办的年份和支付短信包月费，引出递减数列和常数列，有利于揭示等差数列的本质特征;同时，从申奥的简单历程中引出关于奥运会的知识，丰富数学的文化背景，以“我”为当事人的身份加入引例2，可有效增加现实感.

2. 多途径培养学生的数学素养

在新课标中，培养学生的数学素养是一個相当重要的任务，它不仅应落实于学习新知的过程中，更应贯穿课堂教学的整个过程. 本节课通过两个引例的研究，让学生经历了“再创造”的过程;通过问题组的设置，培养了学生思维的严谨性;通过开放式问题的探究，拓展了学生的发散性思维;通过申奥成功情节的引入，激发了学生的数学学习兴趣;通过等差数列数学史的介绍，增加了学生对数学价值的认识;通过问题的讨论、交流，培养了学生合作探究的能力[3].

参考文献：

[1]  张宗余. 千淘万漉虽辛苦 吹尽黄沙始到金——谈“等差数列”概念课教学设计[J]. 中小学教材教学，2004（27）：16-21.

[2]  王德昌. 新课程理念下数学教材处理的“十化”策略[J]. 中学数学，2013（05）：26-28.

[3]  宋永全. 在高中数学教学中渗透核心素养的策略——以《等差数列》教学为例[J]. 广西教育，2020（18）：106-107.