张 垚，吴宗清，严亚龙，付树洪

（中国西安卫星测控中心宇航动力学国家重点实验室 西安 710043）

引言

自1982 年我国邓聚龙教授首次提出关于灰色系统控制问题的理论以来[1]，经过三十多年的发展，这一理论已成为一门新兴的边缘学科，应用日益广泛。灰色系统被定义为部分信息已知、部分信息未知的系统，它处于白色及黑色之间，仅可对系统的一部分建立对应模型[2]，所以灰色系统的结构不完全清楚，其中的因素也相对不完全明确，进一步，其作用机理不完全明了[3]。地面测控设备由于系统构成复杂，各部件之间并联、制约、冗余关联关系交叉存在，准确建立系统的设备状态预测模型非常困难，而采取灰色系统理论构建预测模型，以测量数据为驱动，可大大降低系统建模难度，并满足预测精度要求[4]。

1 灰色系统预测理论

灰色系统建模，是在削弱原始信息随机性、建立灰色“模块”的基础上，应用微分拟合法直接将时间序列转化为微分方程，建立的是抽象系统发展变化的动态模型，如图1 所示。运用这种模型对系统进行分析，可以反映出系统内部机制变化过程的本质，可用于预测控制。这是一种用不足信息建立信息尽可能充分的模型途径，也是充分发挥白色信息作用的途径，是用离散数据建立微分方程的一种方法，可以使抽象系统模型化、实体化[5,6]。

数据的生成方式主要有累加生成、累减生成。通常，在数列为正的情况下，数据的随机性会随累加逐步弱化，进而数据的规律性会得到提升，所以通过累加这种方式，使得数列更易于去进行逼近，从而实现以下两个目标：

①数列的随机性减小，规律性增强。

② 用于动态模型建立的中间信息更为直观。

1.1 累加生成

首先介绍以下两个概念：

①累加过程：数列X在各个时间点下的一次累加操作，记作AGO。

② 累加生成数列：通过累加过程得到的新数列。

具体地，设原始数列为：

对非负数列而言，该数列的非负摆动、无规律性均可通过累加生成转变为具有非减、递增特性的数列。

1.2 累减生成

通过数列的生成操作，也可得到一系列数据，这类数据是具有一定规律的，同时，利用该类数据也可拟合出一些特定函数。因进行了生成操作，生成的数列必然与原数列有一定差异，所以还需进一步对生成的数列进行还原。对通过累加生成的数列，可以通过累减生成数列进行数列还原。

累减生成定义为：将原始数列前后两个数据相减的操作过程，记为1-AGO。

2 灰色预测模型建立

2.1 基于GM的预测模型

建立预测模型的基本方法为：①对原始数据进行一阶累加操作；② 采取指数曲线对进行累加操作后的数据进行拟合及预测；③利用累减生成方法对数列进行还原，从而得到真实预测值。

设原始数列为X(0)，一阶累加序列为X(1)。通过下述步骤可得到GM 预测模型[7,8]。

①假定原始数据序列为X(0)：

式中n为样本数。

② 生成一阶累加序列为(1)X：

③对X(1)建立白化微分方程：

其中a和b为待定参数。将公式（6）微分方程离散化，可得：

④ 求解参数a和b，将式（7）移相，得到：

令k=1,2,…,n-1，则有：

则（10）式可写成：

⑤ 白化微分方程求解

令x(1)(0)=x(0)(1)，则（5）式经拉氏变换有：

经整理后，可写成：

由拉氏变换对应表可得微分方程的解为：

那么，GM 模型的时间响应式为：

综上，式（17）及（18）即为GM的预测模型。

2.2 基于Verhulst的预测模型

设X(0)为原始数据序列，X(1)为X(0)的一阶累加序列（AGO），Z(1)为X(1)的紧邻均值生成序列，则称[9]

为Verhulst 模型，那么其白化过程为：

由于（20）式满足伯努利方程的构型，两边同乘以(X(1))-2，则有：

设u=(X(1))-1，则有u′=-(X(1))-2·X′(1)，代入（21）式，有：

同理，由拉氏变换可以得到其微分方程的解为：

那么，Verhulst 模型的时间响应式为：

灰色系统理论自问世以来，得到了广泛的应用，特别是针对具有不确定性和缺乏数据的系统，其要求样本数据少，运算方便，可较好地反映过去的情况及将来的趋势[10]。

由上述模型可以看出，GM 模型具有较强的指数特性，更适于预测呈单调变化的数据，而Verhulst模型具有一定的非线性微分动态特性，更适于预测呈摆动变化的数据[11,12]。

与此同时，由于影响测控设备状态的因素是多元的，具有较强的随机性，如果直接利用原始数据进行处理，将致使预测精度降低，无法准确预测出测控设备状态的变化趋势，对开展装备维护带来较大难度。

3 算法改进策略

3.1 改进策略

3.1.1 非等间隔处理

传统的GM 与Verhulst 预测模型都是以等间隔序列为基础的，但在实际应用中，指标测试的时机是根据任务准备及装备维护计划而定，其指标参数具有不等间隔的特点，故首先需将不等间隔序列转化为等间隔序列，并通过相关数学处理，再恢复成非等间隔序列。

设有非等间隔原始数列：X(0)=(x(0)(t1),x(0)(t2),…,x(0)(tn))，各时段的实际间隔为：

且有Δti≠Δtj，即代表每一时段的间隔是不一致的，此时的处理方法如下：

①求解平均时间间隔Δt0

② 求各时段与平均时段的单位时段差系数μ(ti)

④ 计算等间隔点的灰数值⊗ix

可得到等间隔序列：

3.1.2 数据平滑处理

航天地面测控设备是一个复杂的机电融合系统，其故障一般为多元故障及多种故障的一个组合。所以此时的AGO 必然会具有强随机性特点。原始数据的差异性和离散性较大，故若直接采用原始数据去进行后续算法计算，必然会引发预测精度低等问题。

基于以上原因，在灰色模型中引入时间序列的一阶指数平滑公式S(t)=αY(t)+(1-α)S(t-1)，α∈[0,1]，对原始数据进行重新生成，即可得到一个新的数列。与原始序列相比，该序列的规律性更强，通过这种规律性，灰色预测的适用范围和精度均可得到大幅提升。

3.1.3 背景值改进

在灰色预测模型中，一般取x(1)(k)、x(1)(k-1)的均值作为背景值z(k)，即z(k)=(x(1)(k)+x(1)(k-1))，其出发点是出于平均的考虑，但在实际应用中却不符合实际，在以上序列的间隔较小且渐变情况下，灰色预测的模型误差越小；反之，在序列剧烈变动情况下，预测模型的误差就会越大。

在图2 中，梯形abcd的面积即为背景值z(k)=(x(1)(k)+x(1)(k-1))，不同于实际曲线所构成的梯形面积，差值为SΔ 。随着序列变化愈发剧烈，ΔS也越大，从而会引发更大的模型误差。

故提出一种背景值的优化求解方法，如图3 所示。对[k-1,k]区域空间N等分，可近似将N个小区域面积和作为图3 中曲边梯形的面积。在N较小的情况下，实际面积大于N个小区域的面积和；在N较大的情况下，实际面积小于N个小区域的面积和。故应存在一个N值（理论值），使实际面积与N个小区域的面积和相等，在这种情况下，N个小区域的面积和可写为：

设背景值算子β=(N+1)/2N，则(N-1)/2N可记为1-β，当0≤β≤1时，则SN=βx(k+1)+(1 -β)x(k)。通过一维搜索方法，最佳的背景值算子与平均相对误差最小模型相对应。

3.2 优化处理流程

通过上述改造方法，可以对原GM(1,1)模型和Verhulst 模型进行优化，有效增强模型的适用范围，提高预测精度。其优化处理具体步骤如图4 及图5 所示。

4 测试验证

4.1 验证方法

客观规律会导致状态预测和设备实际参数存在差异，所以需要通过一些手段去考虑本文提出的预测模型是否精确合理，且结果是否可信。通过残差检验方法，对本文提出的预测模型进行检验。

设原始数据序列为X(0)=(x(0)(1),x(0)(2),…,x(0)(n))，相应的模型预测数据序列为，那么灰色模型的残差为：

其残差序列为：

其平均残差为：

4.2 仿真分析

为预测任务实施当日测控设备的健康状态，分别调用测控设备使用期间四个多月的指标参数及评估结果，以非等间隔日期原始数据为抽样对象，预测任务当天的系统健康状态。通过预测值与实际值的比对情况，验证该方法的适用性和有效性。

指标参数及评估结果见表1～表3，其对应曲线分别如图6～图8 所示。

表1 10MHz 本振输出幅度检测记录Table 1 10MHz local oscillator output amplitude detection record

表2 晶振部件评估结果统计Table 2 Statistics of evaluation results of crystal oscillator components

表3 测控设备系统状态评估结果统计Table 3 Statistics of TT&C equipment system status evaluation results

4.2.1 指标参数值的预测分析

由表4 及表5 可知，传统GM 模型的平均相对误差为-2.674 7 %，而改进方法，选取α=0.65，β=0.57，得到的平均相对误差为-1.625 8 %，模型精度高于传统GM 模型。

表4 10MHz 本振输出测量值与传统GM 与Verhulst 模型的预测比较Table 4 Prediction comparison of 10 MHz local oscillator output with traditional GM and Verhulst models

表5 10MHz 本振输出测量值与改进GM 与Verhulst 模型的预测比较Table 5 Prediction comparison of 10 MHz local oscillator output with improved GM and Verhulst models

传统Verhulst 模型的平均相对误差为0.905 19 %，而改进方法，选取β=0.51，得到的平均相对误差为-1.057 3 %。模型精度与传统Verhulst 模型相当，预测曲线如图9 所示。

4.2.2 典型部件状态评估预测分析

由表6 及表7 可知，传统GM 模型的平均相对误差为0.462 09 %，而改进方法，选取α=0.74，β=0.49，得到的平均相对误差为-0.019 667 %，模型精度高于传统GM 模型。

表6 晶振部件评估值与传统GM 和Verhulst 模型的预测比较Table 6 Comparison of evaluation value of crystal oscillator components with traditional GM and Verhulst models

表7 晶振部件评估值与改进GM 和Verhulst 模型的预测比较Table 7 Comparison of evaluation value of crystal oscillator components and prediction of improved GM and Verhulst models

传统Verhulst 模型的平均相对误差为3.961 8 %，而改进方法，选取β=0.52，得到的平均相对误差为-1.067 4 %。模型精度高于传统Verhulst 模型。预测曲线如图10 所示。

4.2.3 测控系统状态评估预测分析

由表9 及表10 可知，传统GM 模型的平均相对误差为1.500 3 %，而改进方法，选取α=0.61，β=0.59，得到的平均相对误差为1.363 6 %，模型精度高于传统GM 模型。

表8 测控系统状态评估值与传统GM 和Verhulst 模型的预测比较Table 8 Comparison of state evaluation value of TT&C system with traditional GM and Verhulst models

表9 测控系统状态评估值与改进GM 和Verhulst 模型的预测比较Table 9 Comparison of state evaluation value of TT&C system with improved GM and Verhulst mode

传统Verhulst 模型的平均相对误差为4.752 8 %，而改进方法，选取β=0.51，得到的平均相对误差为4.705 5 %。模型精度高于传统Verhulst 模型。预测曲线如图11 所示。

通过对上述测控设备典型参数指标的预测情况分析，可以得到如下结论：

①采用改进后的GM 模型与Verhulst 模型预测精度高于传统模型预测精度，一般能够提高2 倍以上，且适用范围更广。

② Verhulst 模型更适用于周期振荡或随机信号的预测，而GM 模型适应范围较宽，周期振荡、随机信号或者满足一定单调函数的信号均可满足预测要求。

5 结束语

本文通过对灰色系统理论进行研究，针对传统的GM 与Verhulst 模型对随机信号处理的缺陷，提出了非等间隔处理、数据平滑以及背景值修正等方法，对原状态预测模型进行了改进，将预测结果误差降低了2 倍以上，有效地提高了地面测控设备状态预测精度，为后续工程化应用及开展视情维修提供了决策支持。