梁启明

（中国电子科技集团公司第二十二研究所 质量管理部，新乡 453000）

台（门）板上主要受力的典型形式有整个台板上分布均匀载荷、局部区域载荷以及集中力，见图1。针对这3种典型的受力变形，偏理论的书籍一般都给出了经典的通用公式，对工程指导的直观性不强，如文献[1]和文献[2]，且运算量较大；偏应用的书籍有相应的表格、插图可查，如文献[3]和文献[4]等多个版本的机械设计手册，但全面性和简洁性稍差，如没有给出矩形板受局部均匀载荷的受力情况，许多情况下要用插值法计算等。本文的目的是将两者的优势相结合，简洁、快速、全面、直观地获得工程性运算结果。

根据维纳经典解法[1]给出的矩形板四边简支时的挠度变形w的通式为：

式中：Amn为系数。作用在矩形板上的载荷形式不同，其系数Amn值也不同。

1 载荷为整面均载

载荷为整面均载的分布，如图1（c）所示。根据文献[1]，得：

式中：q为载荷均载密度，N·m-2；D为抗弯刚度，D=Et3/[12(1-μ2)]；E为弹性模量，N·m-2；t为板厚，m；μ为泊松比；a为矩形板长边尺寸，m；b为矩形板短边尺寸，m；m、n为1、2、3、…任意正整数。

当只关心板中心的挠度，即x=a/2、y=b/2时，有：

其中：

因此，式（1）可改为：

作为工程应用，式（5）还可进一步简化。当m=n＞1时，式（5）收敛很快。比如，取m=n=3时，相对于m=n=1时，只有1/36=1.37×10-3，对工程精度影响不大，所以可只考虑m=n=1时的情况。更严谨的是，将m=1、n=1，m=1、n=3，m=3、n=1这3种情况代入式（5）求和后获得挠度变形量，但要引入长宽比a/b进行讨论。这一方面较麻烦，另一方面对较多工程案例的整机设备长宽比a/b通常不大于3。在整面均匀受载的情况下，从工程角度只取m=1、n=1的变形挠度其精度值已够用。于是，式（5）可简化为：

钢、铝、铜材料的泊松比都为0.3，因此对于这3种材料，式（6）可进一步简化。结合D=Et3/(1-μ2)，代入式（6）后，得：

2 载荷为局部矩形块均匀载荷

载荷为局部矩形块均匀载荷的分布见图1（b）。载荷P均布在矩形块uv上，该情况下文献[2]整理归纳有：

式中：P为载荷，N；ξ为矩形块几何中心距x轴的距离，m；η为矩形块几何中心距距y轴的距离，m；u为矩形块在x轴方向的尺寸，m；v为矩形块在y轴方向的尺寸，m；其他参数同前。

通常关心是矩形块几何中心与矩形板几何中心重合时的情况，即ξ=a/2、η=b/2时，m、n取值的收敛性同上。参照挠度变形简化公式，得：

对于钢、铝、铜薄板材料，载荷为局部矩形块均匀载荷。矩形载荷块的几何中心与矩形板的几何中心重合时，其挠度简化公式为：

3 载荷为集中载荷P

载荷布置见图1（a），根据文献[1]，有：

式中：ξ为载荷P距x轴的距离；η为载荷P距y轴的距离；其他参数同前。

当集中载荷作用在矩形板的几何中心时，见图1（a），引起的挠度最大，也是最被关心的情况。令ξ=a/2、η=b/2，此时有：

当m、n为偶数时，因此偶数情况可不考虑；当m、n为奇数时因此式（11）可简化为：

m、n取值的收敛性与前述相比少了1/mn项，即收敛性相对变慢。为讨论方便，增加长宽比项，将长宽比f=a/b代入式（13）后，得：

称Q为收敛系数项：

代入式（1），同时考虑集中力作用在矩形板几何中心以及m、n都为偶数时，式（1）的重三角函数正弦为0，求和时不予考虑。而m、n取自然奇整数时，重三角函数正弦为1的因素，得：

较多工程案例的整机设备台（板）的长宽比f=1～3（事实上，长宽比大于3后，f的影响已相对稳定，这也可从机械设计手册的相应表格中看出）。在该范围内分别取几个f值，对应m=1、3、5、7…和n=1、3、5、7…进行不同的组合求和对比，有以下结果。

（1）m、n取值到5时，Q收敛性已很好。比如，取f=3、m=5、n=1时，Q=2.3%；取f=1、m=3、n=5时，Q=8.6×10-4。可见，在工程角度其精度已满足需求。

（2）对m=1、3、5和n=1、3、5分别取值组合对Q求和后，有：

①当f=3，∑Q≈0.39，该数值与单独m=1、n=1的Q=0.27值比约为1.44；

②当f=1，∑Q≈0.28，该数值与单独m=1、n=1的Q=0.25值比约为1.11。

兼顾这两者，把式（16）乘大于1的系数取1.25，集中力作用在矩形板几何中心的挠度变形简化公式为：

钢、铝、铜材料的泊松比都为0.3，因此对于这3种材料，式（17）可进一步简化。结合D=Et3/(1-μ2)，代入式（17）后，有：

以上的简化公式对于不是对变形要求严格的场合，直接按公式计算，不需再按经典公式考虑m、n不同取值组合再求和，也不需按机械设计手册考虑不同的长宽比对应不同的参数查表、看插图后才能计算。

4 简化公式计算与手册查表计算对比与结论

以实验工件的尺寸、材料为例，表1是集中载荷、四边简支约束时简化公式计算与手册图表计算的对比，表2是整个矩形面均布载荷、四边简支约束时简化公式计算与手册图表计算的对比。表1中，手册公式查表（集中载荷，四周简支）。表2中，手册公式查表（均布载荷，四周简支）。

从表1数据可以看出，矩形面作用为集中载荷、四边简支约束时几种工件的相对误差有的都比较大，如工件1的相对误差最大，约8%。对于台（门）板变形要求不严的情况，该误差是可以接受的（因为变形误差的绝对值不大，比如工件1的两种方法的误差绝对值约为6.4 mm）。如果对变形控制较严的情景，还需按相关理论公式或手册图标进行调整。

表1 集中载荷、四边简支约束时简化公式与手册表格（公式）计算挠度对比

从表2数据可以看出：整个矩形面均布载荷、四边简支约束时几种工件的相对误差都比较小，说明简化公式直接进行应用是可行的。

表2 整个矩形面均布载荷、四边简支约束时简化公式与手册表格（公式）计算挠度对比

5 结语

应力公式基于挠度变形的相关公式，而挠度变形在公式工程手册中没有直接的解析式，偏于理论的书籍给出的过于复杂，不便于直接应用。对于实际工程应用，本文将两者进行了结合。当需要知道矩形台（门）板的有关挠度变形时，进行了较合理的推导与验算比较。