李 琛，徐丽佳，张小明，毛长荣，谢 芳

(1. 宜春学院 物理科学与工程技术学院,江西 宜春 336000；2. 宜春市第三中学， 江西 宜春 336000)

(1)

上式中q为广义坐标，t为时间参量.但是如果更一般地考虑非等时变分，并用广义变分符号Δ代替等时变分符号δ，则上述关系变化为[1]

(2)

因为最小作用量原理是一个物理要求，而等时变分是一个数学处理方式，所以可以预期如果使用非等时变分应该得到同样的动力学方程.下面我们通过计算验证这一点.

1 非等时变分与微分关系

对一般函数q(p,t),当取等时变分时，即δt=0，有

(3)

当取非等时变分时，即δt≠0，对函数q(p,t)变分得到

(4)

式(4)两边分别对t求微商，得

(5)

(6)

(7)

如果q仅是时间t的函数，化简上式即得到式(2)的结果.

2 基于非等时变分的拉格朗日方程

由非等时变分下的最小作用量原理得到

(8)

将上式展开表示为

ΔS等时+ΔS非等时

(9)

上式计算中使用了非等时变分的式(2)中的关系，其倒数第二行中前两项为等时变分部分，且有如下关系式：

Δq=δq, Δt=δt, dΔq=dδq

即

(10)

对式(9)中的非等时积分项做分部积分，并利用端点约束条件有

(11)

根据最小作用量原理ΔS=0，以及变分δq和δt的独立任意性，可以推断出式(10)和式(11)中的积分项分别为零，即通过等时变分项和非等时变分项一致性地得到了通常的拉格朗日方程.

3 非等时变分的物理含义

在等时变分中，其物理含义为固定分割的时间间隔，然后任意变动每个时间间隔内的位移，再根据最小作用量原理确定粒子的真实轨道；而对于非等时变分，在ΔS非等时中，可以视为划定粒子运动的坐标间隔不变，即δq=0，而试探变动每段位移使用的时间，同样基于最小作用量原理得到粒子运动的真实轨迹.从结果看，两种数学处理方式对应着同样的物理本质(最小作用量原理)，从而得到同样的动力学方程.