赵姣珍 许道云

摘 要：行列式的理论和应用是代数中的一个经典问题，矩阵的行列式是赋予矩阵的一个数，将矩阵的列向量视为变量，行列式可以视为列向量组的一个函数，其公理化定义为矩阵的性质推导和分析带来方便。基于行列式的公理定义，从公理出发，给出相关重要性质的详细推导，直接由性质研究线性方程組解的存在性和解的表达式。推导过程的简洁与性质间的关联，体现了公理化定义的优点。

关键词：矩阵的行列式;公理定义;行列式性质;推导

中图分类号：O151.2

文献标志码：A

矩阵的行列式值是矩阵的一个不变量，它是代数中一个重要的基础概念，对矩阵各种性质研究以及矩阵在其他领域中的应用，几乎都与行列式相关。本文考虑的矩阵均指n阶方阵，给定一个n阶矩阵，可用列向量表示为

A=a11a12…a1na21a22…a2nan1an2…ann=（A1 A2 … An）

通常，矩阵的行列式定义以如下公式给出[1]：

A=∑π（-1）τ（π）a1，π（1）a2，π（2）...an，π（n）（1）

其中，π是集合{1，2，…，n}上的一个置换。置换π可以被分解为对换的乘积，π的奇偶性由它被分解为最少对换个数的奇偶性决定，此与序列（π（1），π（2），…，π（n））的逆序数（记为τ（π））的奇偶性一致。式（1）中的求和则是取遍{1，2，…，n}上的所有置换。

从式（1）可以找到二阶和三阶行列式的计算规律，并用于计算。但对于四阶以上的n阶行列式，利用式（1）作为计算公式是不现实的。实际计算时，主要是基于行列式的性质不断地降阶，或化为特殊矩阵，或按性质进行计算。

一般，有关行列式的性质是由式（1）推导，部分性质推导较为复杂。基于公理化定义的行列式，从公理形式出发进行推导，在逻辑思路、推导过程、简洁性等方面都有其优点。

文献[2]中以矩阵的列向量（A1，A2，…，An）作为变量，引入行列式函数，以公理形式给出了行列式定义。

本文基于公理本身，讨论了公理的等价性和独立性，从公理化定义行列式出发，直接导出行列式常见的基本性质和普通定义计算式（1），并给出相关重要性质的推导。

1 行列式的公理化定义及等价公理

定义[2] 设矩阵A=（A1，A2，…，An），考虑一个实数函数det（A1，A2，…，An），如果函数满足如下公理条件，则称det（A1，A2，…，An）为矩阵A的行列式。

公理1 对于任意固定的（1≤k≤n），以Ak为变量，其余列不变的情况下诱导出的函数detk（Ak）具有齐次线性性质。即，对于任意常数a，b，detk（aAk+bBk）=adetk（Ak）+bdetk（Bk）。

公理2 若存在相邻两列相等，其值为0。即，如果存在某个1≤k<n，Ak=Ak+1，则det（A1，A2，…，An）=0。注意：由此公理自然导出，对矩阵A，有detk（Ak+1）=0。

公理3 对于单位矩阵U=（U1，U2，…，Un），det（U1，U2，…，Un）=1。其中Uk为第k个单位向量。

首先，可由公理条件直接推出如下基本性质：

性质1 如果矩阵中有一列全为0，则行列式为0。

事实上，如果矩阵A的第k列全为0，由公理1中的齐次性，有detk（0）=detk（0·0）=0·detk（0）=0。

性质2 将矩阵中一列的c倍加到相邻一列后，则行列式不变。

假设由矩阵中的第k+1列的c倍加到第k列，则新矩阵的第k列为Ak+cAk+1。由公理2，detk（Ak+1）=0。再由公理1，有detk（Ak+cAk+1）=detk（Ak）+c·detk（Ak+1）=detk（Ak）。

性质3 将矩阵中相邻两列互换后，行列式改变符号。

证明 设A=（A1，…，Ak，Ak+1，…，An），两列互换后得到矩阵A′=（A1，…，Ak+1，Ak，…，An）。

将矩阵A中第k列加到第k+1列，得到B=（A1，…，Ak，Ak+Ak+1，…，An）;将矩阵B中第k+1列的（-1）倍加到第k列，得到C=（A1，…，（-1）Ak+1，Ak+Ak+1，…，An）;将矩阵C中第k列加到第k+1列，得到D=（A1，…，（-1）Ak+1，Ak，…，An）。

由性质2以及公理1中的齐次性质，有

det（A1，…，Ak，Ak+1，…，An）

=det（A1，…，Ak，Ak+Ak+1，…，An）

=det（A1，…，（-1）Ak+1，Ak+Ak+1，…，An）

=det（A1，…，（-1）Ak+1，Ak，…，An）

=（-1）·det（A1，A2，…，Ak+1，Ak，…，An）

性质1～3完全由公理本身得到。很显然：①性质1和性质2可以导出公理2;②性质1和性质3也可以导出公理2。换言之，分别以性质1和性质2取代公理2，以性质1和性质3取代公理2，可以得到行列式函数的另外两个等价公理定义。

请注意：公理定义中公理1和公理3是本质的。

2 行列式的其他性质

下面的性质表明：公理2、性质2和性质3中的“相邻”条件可以去掉。

性质4 将矩阵中不同两列互换后，行列式改变符号。

证明 指定两个不同列号i，j（i<j），记t=j-i。在矩阵A=（A1，…，Ai-1，Ai，Ai+1…，Aj-1，Aj，Aj+1…，An）中，第i列向后作t-1次相邻列互换，得到B=（A1，…，Ai-1，Ai+1…，Aj-1，Ai，Aj，Aj+1…，An）;在矩阵B中，第j列向前作t次相邻列互换，得到C=（A1，…，Ai-1，Aj，Ai+1…，Aj-1，Ai，Aj+1…，An）。

因此，一共作了奇数次相邻列互换。由性质3，det（A）=（-1）det（C）。即：矩阵中不同两列互换后，则行列式改变符号。

类似证明：

性质5 如果矩阵中有两列相等，则行列式为0。

性质6 将矩阵中任一列的c倍加到另一列后，行列式不变。

证明 任意指定两个不同列号i，j（i<j）。如果是j=i+1，则性质2即得。否则，先将A=（A1，…，Ai，Ai+1，…，Aj，…，An）中第i+1列与第j列对调，得到B=（A1，…，Ai，Aj，…，Ai+1，…，An）;在矩阵B中，第i列的c倍加到第i+1列，得到C=（A1，…，Ai，cAi+Aj，…，Ai+1，…，An）;在矩阵C中，第i+1列与第j列对调，得到D=（A1，…，Ai，Ai+1，…，cAi+Aj，…，An）。

由性质4，det（A）=（-1）det（B）; 由性质2，det（B）=det（C）。再由性质4，det（C）=（-1）·det（D）。所以，det（A）=det（D）。即：矩阵中任一列的c倍加到另一列后，行列式不变。

列号集{1，2，…，n}上的一个置换π=12…nπ（1）π（2）…π（n）可以表示成若干轮换，其中元素个数称为轮换长度，所有轮换中的元素集簇构成集合{1，2，…，n}的一个划分。如：

π=123456789283675419=（1，2，8）（3）（4，6，5，7）（9），其輪换的长度分别为：3，1，4，1。通常，略去单点轮换后简单地表示为π=（1，2，8）（4，6，5，7），未出现的元素表示自己映射到自己。长度为2的轮换称为对换。

可以验证：一个长度为k的轮换可以表示成k-1个对换的复合，且为最小对换个数：

（i1，i2，i3，…，ik）=（i1，i2） ° （i1，i3） ° … ° （i1，ik）（2）

如：（4，6，5，7）=（4，6） ° （4，5） ° （4，7），其中轮换运算的顺序是“从左到右”。

假定将一个置换π分解为轮换积形式时，其轮换的长度序列为l1，l2，…，lm，则一个置换π可以表示为（l1-1）+（l2-1）+…+（lm-1）个对换的复合。记

τ#（π）=（l1-1）+（l2-1）+…+（lm-1）

它记录了置换π表示为对换的个数。

可以证明：

1）τ#（π）是置换π表示为对换时的最小对换个数。因此，这个数是唯一的，以其奇偶性定义置换π的奇偶性。

2）τ#（π）的奇偶性与整数序列（π（1），π（2），…，π（n））的逆序数τ（π）的奇偶性一致。

事实上，单位置换对应的逆序数为0。相邻元素作对换后，逆序数的改变相差1。一般对换使用后，逆序数的改变相差一个奇数。

有了上面的讨论，由性质4，我们有：

性质7 给定A=（A1，A2，…，An），以及列号集{1，2，…，n}上的一个置换π，有如下关系：

det（Aπ（1），Aπ（2），…，Aπ（n））=（-1）τ（π）det（A）（3）

特别，由公理3，对于单位矩阵U=（U1，U2，…，Un），我们有

det（Uπ（1），Uπ（2），…，Uπ（n））=（-1）τ（π）（4）

其中，τ（π）为整数序列（π（1），π（2），…，π（n））的逆序数。

矩阵行列式有一条重要性质：矩阵A的行列式与其转置AT的行列式相等。我们现在来看一下这条性质如何从公理出发得到。

首先，我们注意到：对于单位矩阵U，U=UT。从而，det（UT）=det（U）=1。

对于A=a11a12…a1na21a22…a2nan1an2…ann=（A1，A2，…，An）， 其转置矩阵表示为

AT=（U1，U2，…，Un）a11a21…an1a12a22…an2a1na2n…ann

=∑nj=1a1，jUj，∑nj=1a2，jUj，…，∑nj=1an，jUj（5）

将公理1应用到式（5）中，从第1个列向量开始，依次展开：

det（AT）=det（∑nj=1a1，jUj，∑nj=1a2，jUj，…，∑nj=1an，jUj）

=a1，1det（U1，∑nj=1a2，jUj，…，∑nj=1an，jUj）+

a1，2det（U2，∑nj=1a2，jUj，…，∑nj=1an，jUj）+

…+a1，ndet（Un，∑nj=1a2，jUj，…，∑nj=1an，jUj）（6）

由性质5，矩阵中有两列相等时，行列式为0。因此，式（6）完全展开后得到

det（AT）=∑πa1，π（1）a2，π（2）…an，π（n）det（Uπ（1），Uπ（2），…，Uπ（n））（7）

其中，求和是取遍{1，2，…，n}上所有置换。

为了看清楚这一点，读者可以n=3推导式（7）。

由式（4），我们有

det（AT）=∑π（-1）τ（π）a1，π（1）a2，π（2）…an，π（n）（8）

同样，对于

A=（A1，A2，…，An）

=∑ni=1ai，1Ui，∑ni=1ai，2Ui，…，∑ni=1ai，nUi

行列式展开后得到

det（A）=∑πaπ（1），1aπ（2），2…aπ（n），ndet（Uπ（1），Uπ（2），…，Uπ（n））（9）

我们知道：{1，2，…，n}的所有置换π，在复合运算下构成对称群Sn，对于任一个置换π，逆元π-1与π一一对应，并且τ#（π-1）=τ#（π）。从而，（-1）τ（π-1）=（-1）τ#（π-1）=（-1）τ#（π）=（-1）τ（π）。

改写式（9）中系数项中的乘积顺序。行、列下标自然顺序调整有如下关系：

aπ（1），1aπ（2），2…aπ（n），ndet（Uπ（1），Uπ（2），…，Uπ（n））

=a1，π-1（1）a2，π-1（2）…an，π-1（n）det（Uπ-1（1），Uπ-1（2），…，Uπ-1（n））（10）

因为

aπ（1），1aπ（2），2…aπ（n），ndet（Uπ（1），Uπ（2），…，Uπ（n））

=（-1）τ（π）a1，π-1（1）a2，π-1（2）…an，π-1（n）det（U1，U2，…，Un）

=（-1）τ（π）+τ（π-1）a1，π-1（1）a2，π-1（2）…an，π-1（n）·

det（Uπ-1（1），Uπ-1（2），…，Uπ-1（n））

=a1，π-1（1）a2，π-1（2）… an，π-1（n）det（Uπ-1（1），Uπ-1（2），…，Uπ-1（n））

因此，我們有

det（A）=∑πaπ（1），1aπ（2），2…aπ（n），n·

det（Uπ（1），Uπ（2），…，Uπ（n））

=∑πa1，π-1（1）a2，π-1（2）…an，π-1（n）·

det（Uπ-1（1），Uπ-1（2），…，Uπ-1（n））（11）

当求和取遍所有置换时，有如下关系：

det（A）=∑πa1，π-1（1）a2，π-1（2）…an，π-1（n）det（Uπ-1（1），

Uπ-1（2），…，Uπ-1（n））

=∑π-1a1，π（1）a2，π（2）…an，π（n）det（Uπ（1），Uπ（2），…，Uπ（n））

=∑πa1，π（1）a2，π（2）…an，π（n）det（Uπ（1），Uπ（2），…，Uπ（n））

=det（AT）（12）

由此，有如下性质：

性质8 矩阵A的行列式与其转置AT的行列式相等。即，det（AT）=det（A）。

有了性质8，行列式公理定义中，由“列向量”改为“行向量”作变量定义行列式函数同样有上述平行性质。因此，有关“列”的性质，对“行”同样成立。

同时，由式（11）及公理3，我们可以得到通常行列式的定义公式：

det（A）=∑πa1，π（1）a2，π（2）…an，π（n）·

det（Uπ（1），Uπ（2），…，Uπ（n））

=∑π（-1）τ（π）a1，π（1）a2，π（2）…an，π（n）·

det（U1，U2，…，Un）

=∑π（-1）τ（π）a1，π（1）a2，π（2）…an，π（n）（13）

其中，求和是取遍{1，2，…，n}的所有置换π，一共有n！项。

由于是对全体置换求和，我们有

∑π（-1）τ（π）a1，π（1）a2，π（2）…an，π（n）·

=∑π（-1）τ（π-1）a1，π-1（1）a2，π-1（2）…an，π-1（n）（14）

在上述推导过程中，我们得到如下2个有用公式：

det（U1，U2，…，Un）a11a21...an1a12a22...an2a1na2n...ann

=∑πa1，π（1）a2，π（2）…an，π（n）det（Uπ（1），Uπ（2），…，Uπ（n））（15）

det（U1，U2，…，Un）a11a12...a1na21a22...a2nan1an2...ann

=∑πaπ（1），1aπ（2），2…aπ（n），ndet（Uπ（1），Uπ（2），…，Uπ（n））（16）

注意：式（15）中，等式左端矩阵部分是取A的转置AT，右端求和系数项中的乘积是以行标为自然顺序;而在式（16）中，等式左端矩阵部分是取A，右端求和系数项中的乘积是以列标为自然顺序。

用公理方法，可以自然地推出著名的Laplace定理：矩阵乘积（矩阵乘）的行列式等于矩阵行列式的乘积（实数乘）。即，det（AB）=det（A）det（B）。

设有两个同阶方阵A和B，其矩阵乘法AB形式可以表示为

AB=（A1，A2，…，An）b11b12…b1nb21b22…b2nbn1bn2…bnn（17）

仿式（15）（16），我们有

det（AB）=det（∑ni=1bi，1Ai，∑ni=1bi，2Ai，…，∑ni=1bi，nAi）

=∑πbπ（1），1bπ（2），2…bπ（n），n·

det（Aπ（1），Aπ（2），…，Aπ（n））

=∑πb1，π-1（1），1b2，π-1（2）…bn，π-1（n）·

det（Aπ-1（1），Aπ-1（2），…，Aπ-1（n））

=∑π（-1）τ（π-1）b1，π-1（1），1b2，π-1（2）… bn，π-1（n）·

det（A1，A2，…，An）

=det（A1，A2，…，An）·

∑π（-1）τ（π-1）b1，π-1（1）b2，π-1（2）…bn，π-1（n）

=det（A1，A2，…，An）·

∑π-1（-1）τ（π-1）b1，π-1（1）b2，π-1（2）…bn，π-1（n）

=det（A1，A2，…，An）·det（B1，B2，…，Bn）

=det（A）·det（B）

其中

∑π（-1）τ（π-1）b1，π-1（1），1b2，π-1（2）…bn，π-1（n）

=∑π-1（-1）τ（π-1）b1，π-1（1），1b2，π-1（2）…bn，π-1（n）

是依据求和取遍{1，2，…，n}的所有置换。

3 高阶行列式降阶与行列式的分解

我们知道：高阶行列式的计算主要是通过降阶。

由公理得到的一些主要性质（如：行（列）互换行列式变号，一行（列）的c倍加到另行（列）行列式不变），以及如下的降阶原理可以计算n阶行列式。

对于n阶矩阵A=（A1，…，An），可以表示成如下形式：

A=a1，1a1，2…a1，nB1B2…Bn（18）

如果A中第1行全为0，则det（A）=0，否则至少有一个不为0。于是，通过适当的列互换，以及第1（行）列的某个倍数加到另一（行）列，矩阵可化为如下形式：

A=a0…00B2…Bn（19）

其中，矩阵B=（B2，…，Bn）为n-1阶方阵。对于形如式（19）的矩阵，利用已经由公理推导出的行列式

det（A）=∑π（-1）τ（π）a1，π（1）a2，π（2）…an，π（n）

可以推导出：det（A）=adet（B）。

我们现在观察n阶矩阵A的行列式分解为它的n-1阶子矩阵的行列式之间的关系：

对于式（18）表示的矩阵A，记A[i，j]为在矩阵A中删去第i行、第j列后得到的n-1阶子矩阵。

展开如下公式：

det（A）=deta1，1a1，2…a1，nB1B2…Bn

=deta1，1+0a1，2…a1，n0+B1B2…Bn

=deta1，1a1，2…a1，n0B2…Bn+

det0a1，2…a1，nB1B2…Bn

=a1，1det（A[1，1]）+

det0a1，2…a1，nB1B2…Bn

=a1，1det（A[1，1]）+…

我们有

det（A）=∑nj=1（-1）j-1a1，jdet（A[1，j]）（20）

一般地，对于固定的i，有如下分解计算公式：

det（A）=∑nj=1（-1）i+j-2ai，jdet（A[i，j]）

=∑nj=1（-1）i+jai，jdet（A[i，j]）（21）

对于式（20），对于2≤i≤n，由两行相同行列式為0，我们有

∑nj=1（-1）j-1ai，jdet（A[1，j]）=0（22）

由此导出一条重要性质：如果行列式det（A）≠0，对于第1个n维单位向量U1，线性方程组

x1A1+…+xnAn=U1

有解，其中解x（1）的分量

x（1）j=（-1）j-1det（A[1，j]）det（A）  （j=1，…，n）（23）

一般地，类似方法可得到：如果行列式det（A）≠0，对于第k个n维单位向量Uk，线性方程组

x1A1+…+xnAn=Uk

有解，其中解x（k）的分量计算公式为

x（k）j=（-1）k+jdet（A[k，j]）det（A）  （j=1，…，n） （24）

请注意：在det（A）≠0条件下，文中线性方程组解的存在性完全由公理及行列式性质独立推出，并非由det（A）≠0条件按如下路径得到：A1，…，An线性无关，由A1，…，An构成Rn空间的生成系，再由生成系生成B（如文献[2]）。由生成系生成B要用到线性方程组的解，从逻辑上讲，这里出现一个循环推导问题。

将式（23）（24）组合在一个公式中，得到

（A1，…， An）x（1）1x（2）1…x（n）1x（1）2x（2）2…x（n）2x（1）nx（2）n…x（n）n=（U1，…，Un）

由此，矩阵A的逆矩阵

x（1）1x（2）1…x（n）1x（1）2x（2）2…x（n）2x（1）nx（2）n…x（n）n

=1det（A）c1，1c1，2...c1，nc2，1c2，2...c2，ncn，1cn，2...cn，n

ci，j=（-1）i+jdet（A[i，j]）（25）

这就是可逆矩阵的逆矩阵计算公式（方法）——代数余子式方法。

4 线性方程组解的存在性及解的表示

行列式之所以重要，最主要的原因之一是它提供了求解线性方程组的一般方法：克莱姆（Cramer）法则。

公理化定义的行列式很容易导出克莱姆法则，这体现了公理化方法的优点。

给定一组n维列向量A1，…，Am，称A1，…，Am线性相关，指：存在其中一个列向量Ak，Ak可以表示由其余列向量的线性组合表示。如果不是线性相关，则称为线性无关（或线性独立）。

线性相关等价于：存在一组不全为0的数α1，…，αm，使得α1A1+…+αmAm=0。线性无关等价于：对任意一组数α1，…，αm，如果α1A1+…+αmAm=0，则α1=…=αm=0。

在讨论线性方程组解的存在性与系数矩阵的行列式之间的关系之前，从逻辑上讲，我们应该先考虑行列式与列向量线性相关性质之间的关系，而不是从线性方程组解的性质讨论这一关系。

关于向量组的线性相关性质，容易验证：①在一个向量组中，如果存在部分向量构成的子向量组线性相关，则该向量线性相关;②对一组n维列向量A1，…，Am，B1，…，Bm是由A1，…，Am在同一位置（如第1位置）插入0后得到n+1维向量组，则A1，…，Am与B1，…，Bm的线性相关性一致。

由第3節得到的性质，我们可以得到如下性质：

性质9 对于矩阵A=（A1，…，An），如果det（A1，…，An）=0，并且A第1列都不全为0，则通过如下操作：

1）调整行的顺序使（1，1）位置元素不为0;

2）将第1列的某个倍数加到第2，…，n列某一列，得到矩阵

A′=a0…0B1B2…Bn （a≠0）

其中det（B2，…，Bn）=0。

请注意：第一类操作只可能改变行列式符号，第二类操作不改变行列式值，因此

deta0…0B1B2…Bn=0

性质9就是通常将一个矩阵划为三角矩阵的方法：行列式值只改变符号。对于行列式为0的原始矩阵，每一步操作后所得到矩阵的行列式仍为0，并且A1，…，An与B1，…，Bn的线性相关性一致。

请注意：对于一阶矩阵，当其行列式为0时，该矩阵只能为零矩阵。

由上述讨论，矩阵A=（A1，…，An）中，A1，…，An的线性相关性可以由A的行列式值是否为0判定。

性质10 对于矩阵A=（A1，…，An），向量组A1，…，An的线性相关性当且仅当det（A）=0。

证明 如果A1，…，An线性相关，则存在一个列向量Ak，Ak=α1A1+…+αk-1Ak-1+αk+1Ak+1…+αnAn，则由性质6及性质1，det（A1，…，Ak，…，An）=det（A1，…，0，…，An）=0。

反之，如果det（A）=0，如果A中有一列向量全为0，则A1，…，An中含有零向量，从而线性相关。否则，取定A1，其中至少有一个非零分量。按性质9，从A可以得到一个形式如下的矩阵：

A′=a0…0B1B2…Bn （a≠0）

其中det（B）=det（B2，…，Bn）=0，且A1，…，An与B1，…，Bn的线性相关性一致。

对B重复上述操作（至多n-1次），可以在某一步上得到C=（Ck，…，Cn）（1<k≤n），其中含有一列全为0，并且A1，…，An与Ck，…，Cn的线性相关性一致。由于Ck，…，Cn含有零向量，从而线性相关。因此，A1，…，An线性相关。

利用性质10，我们得到如下行列式与线性方程解之间的关系。

性质11 对于线性方程x1A1+…+xnAn=B，我们有：

1）如果对于任意一个n维列向量B，方程有解，则det（A1，…，An）≠0。

2）如果det（A1，…，An）≠0，则对于任意给定的一个n维列向量B，方程有解。从而，如果存在某个n维列向量B，方程无解，则det（A1，…，An）=0。

证明 1） 假定对于任意的n维列向量B，方程有解，分别取B为单位向量U1，…，Un，记方程x1A1+…+xnAn=Ui的解为Bi，则（A1，…，An）（B1，…，Bn）=（U1，…，Un）。因此

det（（A1，…，An）（B1，…，Bn））

=det（U1，…，Un）=1

由Laplace定理：

det（（A1，…，An）（B1，…，Bn））

=det（A1，…，An）det（B1，…，Bn）

从而，det（A1，…，An）≠0。

2）假定det（A1，…，An）≠0，对于任意给定的n维列向量B=（bk），B可以表示为B=b1U1+…+bnUn，由第4节讨论，对每个k， 线性方程x1A1+…+xnAn=Uk有解，且解x（k）的分量x（k）j=（-1）k+jdet（A[k，j]）det（A） （j=1，…，n）。从而，x1A1+…+xnAn=B=b1U1+…+bnUn有解。

而解x*的分量由如下公式计算：

x*j=∑nk=1bk（-1）k+jbkdet（A[k，j]）det（A）

=1det（A）∑nk=1（-1）k+jbkdet（A[k，j]）（j=1，…，n）

可以验证

∑nk=1（-1）k+jbkdet（A[k，j]）

=det（A1，…，Ak-1，B，Ak+1，…，An）

从而

X*j=det（A1，…，Aj-1，B，Aj+1，…，An）det（A1，…，An）（j=1，…，n）

这就是Cramer法则对解向量的分量的计算公式。

反过来，如果det（A1，…，An）≠0，且方程x1A1+…+xnAn=B有解（请注意，这里先假设有解），则解向量中分量xj可以表示为

Xj=det（A1，…，Aj-1，B，Aj+1，…，An）det（A1，…，An）

这就是著名的Cramer法则。

Cramer法则的推导：由x1A1+…+xnAn=B，以第1列为例：将B替换A1，计算行列式det（B，A2，…，An）。由性质6，从第2列至第n列，分别以第k列的-xk倍加到第1列（行列式不变），最后使用公理1得

det（B，A2，…，An）

=det（x1A1+x2A2+…+xnAn，A2，…，An）

=det（x1A1+x3A3+…+xnAn，A2，…，An）

…

=det（x1A1，A2，…，An）

=x1det（A1，A2，…，An）

因此，x1=det（B，A2，…，An）det（A1，…，An），其余分量类似分析和计算。

5 结语

在行列式的公理定义中，三条公理是相互独立的。原因是：公理1只考虑矩阵中任一列上的齐次线性性质;公理2是考虑矩阵中两列比较，不涉及运算;公理3是界定行列式函数的“初始”边界值，以单位矩阵U的行列式为1作为“种子值”。因此，由其中任意两个公理不能导出第三条公理。

其次，根据第1节中的讨论，行列式的公理定义中的公理2有两种替换方式。

对于公理3，可修改det（U1，U2，…，Un）的初始值。如：定义一个函数F（A）=F（A1，…，An）满足公理1和公理2，修改公理3为F（U）=F（U1，…，Un）=c≠0，则可以证明：F（A1，…，An）=c·det（A1，…，An）。

更进一步，我们可以将F（A）=F（A1，…，An）的取值不是定义在实数集上，而是定义于一个域上（或者一个抽象空间上），通过适当规定公理，可以将矩阵的性质映射到相应空间上。同样，可以修改公理，研究满足公理的函数的相关性质。

有关行列式的定义方式，还可以用Valiant给出的图论方法引入，相关定义请参见文献[3-4]。对于高阶稀疏矩阵行列式的计算，有时以图的方式引入的定义更有效。对于MacMahon主定理、Cayley-Hamilton定理、矩阵树定理、特征多项式定理等的证明，图论方法引入行列式体现了新的思路。详细介绍请参阅文献[5-10]。

由通常行列式定义公式A=∑π（-1）τ（π）·

a1，π（1）a2，π（2）…an，π（n），其求和是对集合J={1，2，…，n}上所有置换求和，即在对称群Sn中取每个元素作用于列标号集J。我们知道：对于定义在J上的任意一个（有限）群G，都对应产生Sn的一个子群。或者说，G同构于Sn的一个子群。

于是，我们可以引入G-行列式概念：AG=detG（A）=∑π∈G（-1）τ（π）a1，π（1）a2，π（2）…an，π（n）。通过G-行列式，我们可以研究矩阵的局部性质，以及行列的分解与逼近计算。

类似可以引入G-积和式概念：permG（A）=∑π∈Ga1，π（1）a2，π（2）…an，π（n），并研究G-积和式的性质及其应用。特别，对于0/1矩阵A的量permG（A），可以刻画图的若干有用的计数。

参考文献：

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[9] ZEIBERGER D. A combinatorial approach to matrix algebra[J]. Discrete Mathematics， 1985， 56（1）： 61-72.

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（责任编辑：周晓南）

Axiomatic Definition of Determinant of Matrix

and Derivation of its Properties

ZHAO Jiaozhen1， XU Daoyun*2

（1.Faculty of Big Data and Information Engineering， Guiyang Institute of Humanities and Technology， Guiyang 550025，China; 2.College of Computer Science and Technology， Guizhou University，Guiyang 550025，China）

Abstract：

The theory and application of determinant is a classical problem in algebra， the determinant of a matrix is a number assigned to the matrix. The column vectors of the matrix are viewed as variables， and then the determinant is a function of the column vectors. Its axiomatic definition has many advantages for the derivation and analysis of the properties of matrices. Based on the axiomatic conditions in the definition， we give the detail derivation of some important properties directly from the axioms， and investigate the existence and the expression of the solution of the system of linear equations. The derivation processes and the relations between the properties show the advantages of the axiomatic definition.

Key words：

determinant of matrix; axiomatic definition; determinant property; derivation

1133500520395