刘贤虎

“小数的意义”一课的教学重点是理解小数的意义。怎么才算是真正意义上的理解？只是记住“一位小数表示十分之几，两位小数表示百分之几，三位小数表示千分之几……”这样的结论能称之为理解吗？学生三年级已经初步认识小数，四年级教学“小数的意义”如何精准定位？选用什么学材才能帮助学生更好地建立小数概念？小数意义的本质是什么？小数与分数、整数的内在联系是什么？等等。教师厘清上述问题，对于“小数的意义”教学至关重要。

【教学过程】

一、唤醒经验，提出问题

师：同学们，你们认识小数吗？生活中你们在哪里见过小数？

生：我在超市见过小数，比如一件商品3.95元。

生：我的身高是1.4米。

师：同学刚才说的小数1.4，它的小数点后面只有一个数字，数学上把它称为一位小数。那3.95就是——

生（齐）：两位小数，因为小数点后面有两个数字。

师：除了一位小数、两位小数，还会有——

生（齐）：三位小数、四位小数……

师：这节课我们一起来学习“小数的意义”（板书课题）。你们想研究小数的哪些知識？

生：小数表示的意义是什么？小数有什么用？一位小数、两位小数、三位小数之间有什么关系……

师：同学们对小数充满好奇，提出了这么多有价值的问题。关于小数的运算我们以后再研究，今天我们先一起研究小数的意义和作用：一位小数、两位小数、三位小数分别表示什么意思？它们之间有什么联系呢？小数有什么用？

【思考】学生已经初步认识小数，生活中也经常见到小数，因此他们对小数并不陌生。借助生活经验，引出小数的外延——一位小数、两位小数、三位小数，进而提出要研究的问题，明确学习的目标——理解小数的意义，即小数的内涵。

二、探究问题，表征建构

教师出示以下问题串：

（1）一位小数表示什么意思？

图1

图1中的正方形表示1元，你们能在正方形里面表示出0.4元吗？（想一想，画一画）

（2）两位小数表示什么意思？

你们能用自己喜欢的方式表示出0.43吗？（想一想、写一写、画一画）

（3）猜一猜三位小数表示什么意思？请举例说一说。

（4）一位小数、两位小数、三位小数之间有什么联系？

1.多元表征，探究一位小数

学生自主探究第（1）题，教师巡视后展示不同作品。

师：怎么表示0.4元，看看上面这4种画法（如图2），你们想说点什么？

生：我不同意第①种，这个不是0.4，它表示的是[14]。

生：第①种是把正方形平均分成4份，其中的一份是[14]。

生：我认为第③④种画法是正确的，它们都是把正方形平均分成10份，涂色的占4份，所以是0.4。

师：第②种画法对不对？

生：不确定。涂色的部分差不多是0.4，但又不能一眼看出来，如果平均分成10份，那就没问题了。

师：你说得有道理。第③④种涂色部分形状各不相同，为什么都是0.4？

生：因为它们都是把正方形平均分成10份，涂了其中的4份，就是[410]，用小数表示就是0.4。

师：也就是说，0.4就是——（[410]）。请画得不对的同学重新画一次。如果再涂2格，就是多少？

生：再涂2格就是[610]，也就是0.6。

师：接着涂3格呢？一位小数还有哪些？（0.1、0.2、0.3……）你们发现一位小数表示什么意思？

生：我发现零点几就是十分之几，一位小数就是表示十分之几的数。

师：你们觉得这些一位小数中哪一个最重要？

生：我觉得0.1最重要，因为0.2、0.3……都是在0.1的基础加起来的。0.1就相当于计数单位，0.4里面有4个0.1，0.9有9个0.1。

师：通过刚才的学习，大家发现一位小数都表示十分之几，都认为一位小数中0.1最重要，因为一位小数都是由几个0.1累加的。

【思考】一位小数的意义建构，学生有认知基础，也有疑惑之处。少数学生会把0.4理解为平均分成4份取其中的一份，教学中教师利用学生错例引出小数意义。教师一次次追问：“如果再涂2格，就是多少？”“接着涂3格呢？”“一位小数表示什么意思？”“一位小数中哪一个最重要？”从浅入深，由表及里，指向核心概念——计数单位，促进了概念的意义建构和学生的深度理解。

2.对比发现，抽象两位小数

学生自主探究第（2）个问题，同桌交流。教师展示学生的两种方法（如图3）。

师：这两种表示方法，谁看明白了？

生：第①种方法先把正方形平均分成10份，每一份是0.1，先涂上4份，是0.4。再把一个0.1平均分成10份，涂上3格就是0.03。合在一起就是0.43。

师：为什么要把0.1平均分成10份呢？

生：因为现在的分法只能表示多少个0.1，0.43中的0.03没有满0.1。

师：不满0.1时，继续把0.1平均分成10份，每份就是0.01。

生：第②种方法是先把正方形横着平均分成了10份，接着又竖着平均分了10份。一共是10×10=100（份），涂43份就是[43100]，也就是0.43。

师：第②种方法把这个正方形平均分成了多少份？那1小格就是多少？

生：把正方形平均分成了100份，1小格是[1100]，也就是0.01。

师：你们喜欢哪一种表示方法？

生：我喜欢第②种，能清楚地看出平均分成100份，表示其中的43份，所以就是0.43。

生：我喜欢第①种。这一种表示方法画起来比较简单，前面的4列表示0.4，后面一列平均分成10份，其中的3份就是0.03，合起来就是0.43。

师：这两种方法画法不同，表示的意义相同吗？

生：虽然它们画得不一样，其实都表示平均分成100份，涂其中的43份。

师：不管是1格1格地涂，还是先涂4列，再涂3格，只要是涂了43个小格，都是[43100]，用小数表示就是0.43。如果再涂两列，就是多少？如果要表示0.99，应该怎么涂？

师：你们发现两位小数表示什么？两位小数中哪一个最重要？

生：两位小数表示百分之几。我觉得0.01最重要，其他两位小数都是0.01累加起来的。

【思考】学生利用学习一位小数意义时建构的图式，学习两位小数。教师不断追问，促进学生对两位小数意义及其计数单位的理解。

3.类比推理，理解三位小数

师：你们能推测一下三位小数表示的意思吗？并举例子说明。

生：三位小数表示把“1”平均分成1000份，那其中的1份就是0.001。

生：三位小数就是表示千分之几，比如[2381000]可以写成0.238。

师：你们会在百格图上表示出0.437这个数吗？

（学生在学习单上自主完成，教师巡视并组织全班交流）

生：把43格后面的那一格平均分成10份，取其中的7份，和前面的43格合起来就是0.437。

师：对于三位小数，你们想说点什么？

生：最大的三位小数是0.999。三位小数表示的都是千分之几。

生：最重要的是0.001，其他三位小数都是一个个0.001累加起来的。

【思考】借助前面学习活动的经验，学生进一步理解三位小数就顺理成章。学生通过类比推理，自然得出三位小数的意义。

三、解决问题，深化理解

1.填一填。

分数有：

小数有：

2.找一找：你们能在数轴上找到0.7 m、0.07 m和0.007 m吗？请标出来。

（学生尝试完成后，汇报交流）

师：你们是怎么找到这三个小数的？你们认为学习小数有什么作用？

生：有时量物体的长度，不能得到整数的结果，就需要用小数来表示。

师：你们能找到1.3 m吗？

生：先找到1 m，在1 m的后面找到0.3 m，就是1.3 m。

生：把1 m和2 m之間平均分成10份，把其中的3份和1 m合起来就是1.3 m。

【思考】第1题要求学生通过一维的线段、二维的正方形、三维的正方体等素材，分别用一位小数、两位小数、三位小数来表示，丰富了学生的感性认识。同时再一次将十进制分数与小数进行联结，夯实学生对小数意义的理解。第2题要求学生在数轴上表示数，通过找一找、说一说、比一比等活动，感受小数大小，培养学生的数感。

四、反思拓展，延伸问题

师：通过今天这节课的学习，你们有哪些收获？

生：我知道了一位小数就是十分之几，两位小数就是百分之几，三位小数就是千分之几。我还知道一位小数中0.1最重要，两位小数中0.01最重要，三位小数中0.001最重要……

师：之前，我们学习整数时，知道整数的计数单位有个、十、百……还知道整数相邻的两个计数单位之间的进率是10。今天我们又认识了一位小数、两位小数、三位小数，它们的计数单位分别是——

生：0.1、0.01、0.001。

师：这些小数相邻的计数单位之间的进率是多少？为什么？

生：它们的进率也是10。因为把1平均分成10份，每一份就是0.1;把0.1平均分成10份，每一份就是0.01;把0.01平均分成10份，每一份就是0.001。

师：我国使用小数的历史非常悠久。（播放微课，介绍我国古代十进制计数法、小数的研究情况）对于小数，你们还有哪些问题？

生：怎么计算小数的加减乘除？

生：为什么有了分数，还要学习小数呢？

师：真好，我们解决了一些问题，又产生了新的问题，带着问题我们继续思考。

【思考】学习始于问题，终于问题。一节课的结束不代表学习的终结，教师应继续激活学生的思维，引发新的问题，让学生产生进一步学习和思考的需求。

本课用正方形作为思维表象的载体，通过前后三次平均分，直观呈现一位、两位、三位小数形成的过程。学生在认识小数的过程中，体会小数即十进制分数，把握概念本质，理解概念内涵。

1.逆向设计，表征概念本质。小数意义的教学可以顺向思维设计，让学生根据图示写分数和小数，进而发现分数和小数的联系。这样教学就会十分顺畅，学生很少出现错误。然而数学学习不能仅凭会和不会来简单判断，教师应了解学生的理解程度，在此基础上展开教学才更有效。顺向设计容易遮掩学生对知识的理解水平，更多地停留在考查学生模仿、记忆的浅层次思维。逆向设计让学生画图来表示小数，学生通过图像表征、语言表征、符号表征等表示小数意义，指向概念本质，促进分析、应用、创造等高阶思维的发展。

2.对比分析，理解概念本质。本课教学重点是抽象一位小数和两位小数的意义，进而推理三位小数的意义。抽象是以分析比较为基础的，没有对比就不能发现概念的特征。学生用不同的方法表示出0.4、0.43，进行比较：画法不同，为什么表示的意义相同？学生表示完0.4、0.6、0.9后，进行求同比较：你们发现一位小数表示什么？表示出0.43、0.63、0.99后，同样进行比较，你们发现两位小数表示什么？教师引导学生对作品进行比较，让学生进一步理解只要平均分成10份、100份……其中的几份就是零点几、零点几几……让学生在不断的对比中，将经验化理解、形式化理解上升为结构化理解，概括小数意义，理解概念本质。

3.对话思辨，追问概念本质。保罗·弗莱雷说：“只有通过交流，人的生活才具有意义。只有通过学生思考的真实性，才能证实教师思考的真实性。教师不能替学生思考，也不能把自己的思考强加给学生。真正的思考，是对现实的思考，不是发生在孤立的象牙塔中，而只有通过交流才能产生。”通过画图表示0.4和0.43，学生的作品准确地反映出学生的理解水平，有错误的、模糊的、清晰的。教师不断追问，这样表示对吗？它们有什么不同，有什么相同？每一个学生积极思考，通过师生对话、生生对话，关联不同的想法，进而让不同层次的学生得到发展，思维得以提升。以表征促理解，用对话活思维，叩问概念本质，实现从知识输入到思维产出的跨越。

（作者单位：广东省东莞松山湖中心小学）

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