王 龙

(江苏省南京师范大学苏州实验学校 215131)

严格来讲，关键能力是指认知能力、合作能力、创新能力、职业能力.对于基础教育而言，前三者可能更加重要，这是因为基础教育中的学科教学，需要帮助学生积累基本的学科知识，帮助学生在学习的过程中发展自身的思维，从而表现出良好的认知发展、合作以及创新状态，而在这样的状态中所表现出来的具体能力，就是真正的关键能力.

对于初中数学教学而言，概念是数学知识的基础，是数学思想方法的载体.同时，理解概念的根本内涵，弄清概念之间的区别与联系，是数学基本技能形成与提高的必要条件.在具体的概念教学中，如何从传统的窠臼当中走出来，不再将概念的学习变成机械的记忆，而是将概念教学的过程视作是发展学生关键能力的过程，值得教师认真思考.

1 初中数学概念生成过程中的关键能力意蕴

数学概念是揭示现实世界空间关系与数量关系的思维形式.数学概念的合理生成、准确理解和灵活应用，直接影响着学生的思维能力.当前的教学理念强调生成，因为在生成的过程中，学生的学习主动性更容易得到释放，这自然就有利于学生能力的养成——这里所说的能力未必完全是指关键能力，但是这样的能力养成过程一定可以成为关键能力生成的土壤.所以说在初中数学概念生成的过程中，关键能力的意愿是非常丰富的，具体则可以从如下两个方面来理解：

其一，数学概念的生成与关键能力的培养是一个硬币的两面.

事实上借助于先进的教学理念可以知道，有效的学习过程一定是一个主动建构的过程，而对于概念学习而言，建构一定表现为从朴素概念(即学生对概念的初始理解)生成为科学概念(即用数学语言所描述的概念).只要在重视学生对概念进行记忆的同时，还关注能力的培养，那么关键能力的养成就有了实现的可能.从这个角度来看，初中数学概念的生成与关键能力的培养，应当是一体两面的关系，无论忽视了其中的哪一面，概念教学都是不完整的.

认同数学概念的生成与关键能力的培养是一个硬币的两面，最关键的一点就是要认识到这两者的过程是统一在一起的，在数学概念的生成过程中有着关键能力培养的契机，在关键能力培养的时候要重视数学概念的生成.只有教师建立起明确的关键能力培养的意识，才能够让数学概念的教学更具内涵；同样也只有用关键能力的培养去引导数学概念的教学，才能让关键能力有据可依.

其二，数学概念生成的过程是否科学，可以用关键能力的培养来评价.

只要教师给学生预设了一个概念生成的空间，那么在这个空间里学生总会经历一个概念生成的过程.这样一个过程是否真正科学合理，笔者以为可以以关键能力的培养来作为评价要素.既然上面提到关键能力包括认知、合作与创新三个层面，那么具体的评价也就可以从这三个层面来进行.从认知的角度来看，概念既是学生学习的对象，同时又是学生思维的工具，学生对数学概念的掌握，既意味着知识的丰富，也意味着思维的发展；从合作的角度来看，作为有别于传统的学习方式，学生通过合作学习可以更好地互通有无，同时也可以优化自己的概念建构与运用方式，学生的学习能力能够得到发展.联合国教科文组织早就提出必须“学会学习”，因此学习能力自然也可以视作是关键能力的重要组成部分；从创新的角度来看，让学生基于已有的概念去构建新的概念，这就是创新，让学生在合作的过程当中产生新知，这也是创新.

综合以上两点分析，在具体的数学概念教学中，教师应当致力于用概念生成的过程去促进学生关键能力的养成，而在概念生成之后，则用关键能力来评价概念的形成过程.

2 用关键能力的培养指明数学概念生成路径

初中数学概念教学中积累下来的重要认识之一，就是有效的数学概念教学应于活动中生成、从过程中体验、在操作中建构.当数学概念教学有着明确的核心素养指向的时候，就应当让学生拥有一个充裕的活动空间，并且在这个活动空间里要能够生成体验，让体验成为关键能力养成的基础.

例如，轴对称是初中数学平面几何中的基本概念，从学生认知的角度来看，初中学生在生活当中已经形成了初步的与轴对称相关的经验，只不过这个经验是非常朴素的，属于学生的直觉认知，学生尚不能用准确的数学语言来描述.但也正因为学生有了这一基础，所以在引导学生形成轴对称概念的时候，就可以从学生的经验出发，让学生去经历一个数学抽象与逻辑推理的过程.有了这样的过程，学生的认知就能得到发展，学生也会自主采用合作的学习方式，并且有可能在学习的过程中表现出一定的创新意识与能力，这样也就可以实现关键能力的培养.基于这样的理解，笔者在设计轴对称概念的生成过程时，认真设计了这样几个环节：

首先，激活学生的生活经验，帮助学生形成轴对称表象.

在学生的生活中，“对称”的原始概念是存在的，很多学生都可以说出类似于“对称就是一模一样”的话，同时在学生的大脑当中，也有不少关于轴对称的例子，如传统的建筑、人的外表、人的一双鞋，等等.这个时候学生大脑中的“对称”概念，往往是与具体的物体联系在一起的.这是一个客观事实，也是学生有认知的具体体现.某种程度上讲这是一种客观规律，作为初中数学教师，只有认识到这些规律的存在，才能在教学设计的时候牢牢把握住“学生已经知道了什么”(著名认知学理学家奥苏泊尔语).对于数学概念建构而言，学生大脑中的这些具体物体，就是数学概念形成的基础，也是学生思维的出发点.当然要注意的是，此时学生大脑当中所出现的物体，还不是数学意义上的“对称”，因此这里要让学生经历一个数学抽象的过程，要将学生大脑中形象的对称事物抽象为数学图形.

这是一个数学抽象过程，其核心就是将对称事物中的非数学因素(如颜色等)去除，只留下数学因素(如几何形状、大小等)，这样有助于学生更为准确的把握对称的特征，这样的过程自然也可以发展学生的数学抽象素养，本质上也就促进了关键能力的养成.

其次，借助于逻辑推理帮助学生建立轴对称概念.

这里所说的逻辑推理对应着具体的分析与综合过程，说的简单一点就是当把生活中的具体事物抽象为几何图形时，要让学生发现每个图形都可以通过对折的方法实现完全重合，如此分析之后再进行综合，就可以得出“一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合”这样的认识(当然在这一数学认识形成之前，学生还可能会有一些用自己的语言组织的认识，限于篇幅，这里不再赘述).这样实际上也就是通过逻辑推理得出了轴对称的数学定义.

如果说表象对应着学生的形象思维的话，那么当学生用数学语言来描述轴对称概念的时候，学生的思维实际上就已经转向了抽象思维.从形象思维转向抽象思维，原本就是初中数学教学的重要意图，尤其是在概念教学中，学生的思维从形象转向抽象，这就是思维水平的提升.思维水平的提升，当然对应着关键能力的发展，尤其是当学生借助于严密的逻辑来建构出新的概念时，不仅可以让学生认识到轴对称是怎么回事，而且更可以让学生养成借助于逻辑去判断生活事物的意识与能力，这可以视作是关键能力的重要表征.

3 基于关键能力的培养展望概念生成的教学

上面这样一个教学案例，所涉及到的教学研究元素是多方面的.这里可以从数学概念生成与关键能力养成两个角度来进行教学反思：

从数学概念生成的角度看，上面的轴对称概念教学，在充分激活学生认知经验的基础上，让学生的大脑当中有了丰富的事物和案例，而当学生借助于数学抽象来加工这些事物与案例之后，学生大脑中的表象就变得更加丰富.可以说正是这些表象成为轴对称概念建构的基础；从表象到数学语言的过渡，又是一个重要变化.正是在这种变化中，学生的思维方式发生转变，思维水平得到发展，这就使得关键能力得以萌芽并生长.很显然相对于传统的概念教学而言，在这样的教学当中，学生的自主性更强，学习方式运用也更丰富，概念建构的结果自然也就更加理想.

从关键能力养成的角度来看上述教学案例，可以发现在轴对称概念生成的过程中，学生的关键能力培养是有着较大空间的.比如说，第一个环节中的数学抽象，学生可以凭着大脑中丰富的生活对称的认识，在经由数学抽象之后变成数学认识，这就发展了数学抽象素养；在第二个环节当中，学生通过对多个例子的分析，可以得出关于轴对称的一般性认识，然后在从朴素语言向数学语言过渡的过程中，让逻辑推理素养得到培养.数学抽象与逻辑推理都是数学学科核心素养的组成要素，这自然也就意味着关键能力得到提升.除此之外，无论是数学抽象还是逻辑推理，都是学生认知发展的表征；反之，当学生的认知得到发展时，关键能力也就提升了.于是这样的课堂所呈现出来的形态，就是一个概念生成与关键能力提升相互依存、相互促进的形态.

总而言之，在初中数学中，概念是教学最基本的内容，透过数学概念的学习，可以让学生了解和认识数学知识点，从而发展科学思维.概念教学既是整个数学知识体系建构的基础，同时也是关键能力养成的基础，让学生在数学概念生成的过程中提升关键能力，应当成为每一个初中数学教师的基本理念与教学自觉.这是笔者对于概念生成与关键能力养成的一些基本思考，若有不当之处，还请专家同行批评指正.