王宏辉，丁举春，司 廷，罗喜胜

(中国科学技术大学 近代力学系，合肥 230026)

0 引 言

激波冲击加载两种不同密度流体的分界面后，界面上的初始扰动依次经历线性和非线性增长，与此同时，界面附近出现大量的尖钉（重流体侵入轻流体）、气泡（轻流体侵入重流体）、旋涡等流动结构，最终导致湍流混合的发生。这种界面不稳定性通常被称为Richtmyer-Meshkov（RM）不稳定性[1,2]。已有的研究结果表明，斜压涡量（密度梯度与压力梯度不重合所致）和压力扰动（激波穿过扰动界面后形成具有扰动的透射激波，波后呈现非均匀压力场）是RM不稳定性演化的主要物理机制[3-4]。RM不稳定性不仅涉及激波动力学、旋涡动力学、可压缩湍流等流体力学基础难题，而且在惯性约束核聚变[5]、超燃冲压发动机[6]、武器内爆[7]等工程问题中具有广泛的应用背景。因此，相关研究意义重大。

鉴于单模形状的物质界面具有数学描述形式简单、普适性强（任意一个多模扰动可以看作是多个单模扰动的叠加）等特点，已有的研究（尤其是理论研究）多关注单模界面在平面激波冲击下的不稳定性发展[8-11]。Richtmyer[1]1960年首次提出激波诱导流体界面失稳问题，并用界面的速度阶跃近似表征激波的冲击效应，推导得到了线性期扰动振幅增长的理论模型（后人称之为冲击模型）。随着扰动振幅的逐渐增大，非线性效应增强（出现高阶扰动模态），界面演变成非对称的尖钉和气泡结构，扰动增长率持续降低，此时冲击模型失效。为了准确描述非线性期的扰动增长，Zhang 和 Sohn[10-11]基于扰动展开方法对界面两侧流体的运动学和动力学方程进行展开，获得了扰动增长的高阶非线性模型。近年来，Zhang和Guo分析发现尖钉和气泡的无量纲振幅增长规律十分相似，并基于此提出了一种全新的非线性势流模型（ZG模型）[12]。需要指出的是，以上介绍的理论模型均只适用于初始小扰动（即初始振幅波长比小于0.1）界面的演化发展。Dimonte和Ramaprabhu基于大量的数值模拟结果总结规律，提出了一种适用于大扰动界面发展的经验模型[13]。

实验研究不仅可以发现新的物理现象和规律，而且可以检验理论模型的正确性以及验证数值算法的可靠性。因此，在RM不稳定性研究历程中，实验研究一直起着举足轻重的作用。Meshkov[2]采用硝化纤维膜隔离两种不同气体以形成单模形状的气体界面，首次开展了RM不稳定性验证实验，实验结果初步证实Richtmyer理论分析的正确性。然而，实验中硝化纤维膜的支撑以及破膜后的碎片对界面演化产生严重的干扰，导致实验中的扰动增长率明显低于冲击模型的预测值。后来，Jacobs等[14-15]从实验段的上下两端分别充入不同密度的气体，让两种气体在实验段中间相遇并随后从侧壁上的缝隙流出，形成一个相对稳定的气体界面。而且，他们发现可通过在实验段管壁上施加一个固定频率的水平振动的方法形成一道单模形状的气体界面。这种界面形成方法虽然避免了硝化纤维膜带来的一系列干扰，但生成的气体界面具有三维性和扩散性，且界面附近存在非均匀速度场，这些因素同样会对界面演化产生不利影响。考虑肥皂膜具有厚度薄、对流场污染小、形状维持久等特点，Liu等利用细丝约束肥皂膜技术[9]生成了更为理想的间断型单模气体界面，有效消除了气体扩散层、三维性、硝化纤维膜碎片等不利因素的影响，获得了平面激波诱导轻/重单模界面失稳的高置信度实验结果，并利用实验结果检验了已有理论模型的准确性，发现ZG模型相比其他非线性模型具有更好的预测能力。

已有的理论、实验和数值研究多关注扰动界面在入射激波单次冲击下的不稳定性发展。实际工程应用往往涉及一个密闭系统，存在于密闭系统中的激波必然会和固壁作用生成反射激波，因此密闭系统中的物质界面除了受到入射激波的冲击外还会受到反射激波的二次甚至多次冲击，发生十分复杂的不稳定性演化。比如在惯性约束核聚变中，入射球形激波穿过氘氚冰/氘氚气体界面后形成一道向内传播的透射激波，透射激波到达靶丸中心立即生成一道反射激波，随后反射激波向外传播并再次作用正在演化的物质界面，导致复杂界面不稳定性和湍流混合的发生。另外，在高超声速飞行器的发动机内流中，激波在燃烧室内壁来回反射生成多道反射激波，燃料在向下游运动过程中依次穿过这些反射激波，发生复杂的界面不稳定性演化，并伴随着燃料与氧气的快速混合。可见，反射激波诱导的界面失稳和湍流混合是工程中广泛存在且十分重要的流动问题。与单次激波诱导的界面失稳不同，反射激波的二次冲击会在界面上沉积相同或相反方向（相对于入射激波沉积的涡量的方向）的附加涡量以及额外的压力梯度，从而导致新的流动结构（如射流、小尺度涡结构等）和现象（界面反相）的出现[16-17]。另外，已有的研究证实，反射激波冲击后的界面流动更易发生转捩，导致湍流混合的提前发生[18]。由于反射激波冲击前物质界面已经处于演化状态并发生严重扭曲，且界面附近的流场参数未知，因此相关流动机理分析非常困难。至今，反射激波诱导下的界面演化机制、流动转捩条件以及湍流场特性仍是流体力学界公认的难题之一。可见，开展反射激波诱导的界面不稳定性研究亦具有十分重要的科学意义。

本文基于Liu等发展的肥皂膜技术[9]生成单模形状的空气/六氟化硫（air/SF6）界面，借助高速纹影技术捕捉入射和反射激波冲击界面后的详细不稳定性演化过程，重点分析反射距离对不稳定性发展的影响，并利用实验结果检验已有的经验模型。

1 实验方法

实验在改进后的水平激波管内开展。如图1（a）所示，该水平激波管由高压段、低压段和实验段组成，其中高压段长1.7 m，低压段长2.0 m，实验段长0.37 m，实验段截面积为260 mm × 80 mm，实验段观察窗面积为275 mm × 100 mm。实验时，采用一个塑料膜片将高压段和低压段隔开，利用压气机向高压段充入空气，当压力达到破膜临界值时，膜片破裂，产生一道向下游传播的平面激波（马赫数为1.22 ± 0.02）和一道向上游传播的稀疏波。

图1 实验步骤示意图Fig. 1 Sketch of the experimental setup

如图1（b）所示，实验的界面生成装置分为A、B两部分，每部分装置采用5 mm厚的亚克力板雕刻组装而成，其中上下两块亚克力板的垂直距离为6 mm，即实验段内高6 mm。装置A和B的连接面为正弦形状，其上下亚克力板内表面（紧邻正弦面）均嵌入一条具有相同正弦形状的细丝以约束肥皂液的运动，每条细丝凸出实验段不超过0.2 mm，已有的实验结果证明这样微小的细丝对流场的影响可忽略不计。实验中，首先采用少量肥皂液（由质量分数78%的蒸馏水、2%的油酸钠、20%的甘油配制而成）将装置B的正弦细丝润湿，然后将沾有适量肥皂液的矩形小刷子沿湿润的细丝表面缓慢移动，即可生成正弦形状的肥皂膜界面。为了生成air/SF6气体界面，需要往界面右侧空间缓慢充入SF6气体（在此过程中，需要维持肥皂膜界面稳定、不变形）。具体地说，将两个沾有肥皂液的导气管轻轻插入肥皂膜（用细针刺破导气管内部的肥皂膜），通过其中一个导气管（进气口）向装置B充入SF6气体，使得air从另一个导气管（出气口）排出，最终装置B内部充满高浓度的SF6气体。实验中，用气体浓度仪实时检测出气口的氧气浓度，当氧气浓度低于1%时，认为air几乎被全部排出，停止充气。随后，抽出两个导气管，将装置B缓慢放入激波管实验段直至与装置A完全接触。需要强调的是充气过程持续约40 s，在这样的短时间内只有少量气体分子穿过肥皂膜到达界面另一侧，因此生成的界面可以看作是一个理想的间断型气体界面。实验段末端是固壁，入射激波穿过air/SF6气体界面后形成的透射激波，到达激波管末端生成一道向上游传播的反射激波，实现二次冲击界面的目的。实验采用高速纹影技术捕捉激波和界面相互作用的全过程，高速相机（FASTCAM SA5，Photron Limited）的拍摄频率设为50 000 帧/s，曝光时间为1 μs。

2 结果与分析

定义初始界面平衡位置和激波管尾端壁面的距离为反射距离，考虑四种不同反射距离下air/SF6单模界面在反射激波冲击后的不稳定性发展，重点研究反射距离对不稳定性发展的影响。表1给出了各组工况的初始参数，其中：A1+表示初始激波波后Atwood数，L0表示初始界面平衡位置与尾端固壁之间的距离，λ0和a0分别表示初始界面的波长和振幅，VFS是界面右侧SF6气体浓度，Vi1、Vt1和ΔV1是入射激波速度、透射激波速度以及激波冲击导致的界面阶跃速度。艾特伍德 数被定义为A= (ρ2−ρ1)/(ρ2+ρ1)，其中ρ1和ρ2分别表示界面左、右侧的初始气体密度。表2给出了反射激波冲击界面前的主要流场参数，其中：A2+表示初始激波波后Atwood数，λ20、a20和a' (t1)分别表示反射激波到达时界面的波长、振幅及振幅增长率，Vi2、Vt2和V20分别表示反射激波速度、第二道透射激波速度以及反射激波冲击后的界面速度。

表1 不同工况中入射激波冲击界面的初始参数Table 1 Initial flow parameters

表2 反射激波冲击界面前的流场条件Table 2 Flow parameters at the reshock

2.1 界面演化

图2给出了四组不同工况中air/SF6单模界面在入射和反射激波冲击后的演化纹影图像。对于四组工况，激波和界面的演化结构均十分清晰，且在整个演化过程中界面保持良好的对称性，证明了实验方法的可行性和可靠性。这里以工况120-20-1为例，详细介绍激波冲击单模界面后的不稳定性演化过程。定义入射激波（IS）到达初始扰动界面（Ⅱ）平衡位置的时刻为零时刻。由于界面两侧气体的声阻抗（密度与声速的乘积）不同，入射激波穿过air/SF6界面后，产生一道向下游运动的透射激波（TS）和一道向上游运动的反射激波。与此同时，界面受入射激波的冲击获得一个阶跃速度，向下游运动。随后，气体界面（MI）离开约束条，呈现较为理想的单模形状，并在斜压涡量诱导下持续变形，导致界面振幅不断增大。需要指出的是，生成的透射激波TS是具有初始扰动的（近似正弦形状），其在向下游传播过程中逐渐恢复为一道均匀的平面激波，最后到达实验段尾端壁面，生成一道向上游运动的反射激波（RS）。反射激波RS会再次作用正在演化的气体界面（997 μs，此时界面依然可以看作是二维的），导致界面失稳加剧。

图2 不同反射距离下激波和单模界面的相互作用过程Fig. 2 Interaction of shock wave with a single-mode interface for different cases

对于工况200-20-1，反射激波再次作用界面前，界面在入射激波的冲击下已演化较长时间，呈现出较多的小尺度结构和显著的三维性。由于界面振幅较大，反射激波经过界面时在尖钉处发生复杂的激波-激波干扰。反射激波冲击界面后（1109 μs），产生向上游传播的透射激波（RST）、向下游传播的反射稀疏波以及展向传播的横波，这些横波会持续作用界面一段时间。随后，界面振幅逐渐降低，直至界面反相的发生（工况80-20-1，779 μs）。对于工况200-20-1，反射激波作用前，界面振幅已经较大，在随后的反相过程中界面发生严重扭曲，已不是规则的单模界面（1679 μs），界面厚度（气体混合）急剧增加。反相之后，界面附近的流场更为紊乱，界面两侧气体的混合加速。

2.2 界面振幅

实验获得的清晰界面结构有助于准确测量界面的扰动振幅。图3给出了四组不同工况下界面扰动振幅随时间的变化。可以看出，四组工况中的界面振幅变化规律非常相似。入射平面激波冲击单模界面后，界面振幅首先经历线性增长，在此阶段界面保持正弦形状（图2）。对于本文的四种工况，反射激波作用界面前，扰动振幅增长曲线基本重合，这是因为四组工况的初始条件相同（只是边界条件不同），这也说明了实验结果具有较高的可重复性。表3给出了实验测量的线性增长率和理论预测结果，从中发现，实验测量值略低于冲击模型预测值。这种差异可归因于肥皂膜破碎后的液滴、激波管壁面效应等实验因素的影响，以及无黏、不可压缩流动等模型推导过程中的假设和简化。随着扰动振幅的不断增大，非线性效应增强，界面上出现高阶扰动模态，扰动增长率逐渐降低，此时界面演化成非对称的尖钉和气泡结构。由于四组工况中的反射距离不同，反射激波再次作用的时间亦不同。对于工况40-20-1，当τ= 1.2时，反射激波再次作用处于演化中的界面，界面振幅受反射激波压缩迅速减小，随后逐渐减小为零（反相），最后在相反方向上快速增长。需要指出的是，对于本文的四种工况，反射激波作用界面时，界面演化均已进入非线性期。四组工况下，反射激波作用界面后，扰动振幅快速增加且几乎随时间线性增长。通过拟合实验数据，可以得到反射激波冲击后的扰动增长率，如表4所示。

图3 扰动振幅随时间变化的无量纲结果Fig. 3 Variations of dimensionless amplitudes with time for different cases

表3 不同反射距离下入射激波冲击后的线性增长率实验值和理论预测对比Table 3 Comparison of the linear growth rates between experimental results and theoretical predictions

表4 关于反射激波作用后的扰动振幅增长率的实验测量值和理论预测值对比Table 4 Comparison of the post-shock growth rates between the experimental results and theoretical predictions

从表4可以看出，对于反射距离为40 mm、80 mm和120 mm三组工况，反射激波作用后的扰动振幅增长率十分接近。由此可见，在一定的反射距离范围内，反射激波作用后的扰动增长率几乎与反射距离无关，即与反射激波作用前的扰动振幅和增长率无关。需要强调的是，对于反射距离非常小（与扰动振幅一个量级）的情形，反射激波作用界面产生的新的波系在界面和壁面之间来回反射，必将对界面演化产生持久且显著的影响，不过，这不在本文的研究范围之内。对于反射距离较大的工况（200 mm），反射激波作用后的扰动振幅增长率略低于其他三组工况。可能的原因有两个：1）随着反射距离的增加，反射激波接触界面前，界面已经呈现许多小尺度结构，并具有一定的三维性；2）由于界面振幅已经增长得较大，反射激波在穿过界面过程中发生复杂的波系干扰，产生较强的局部压力扰动，抑制界面振幅发展。

反射激波诱导的界面不稳定性不仅包含经典RM不稳定性的主要物理过程（复杂波系和斜压涡量的生成），而且还伴随着激波-激波干扰、激波和旋涡相互作用等复杂物理现象的发生。对于这样的复杂问题，很难进行纯粹的理论建模。根据已有的实验和数值模拟结果，学者们提出了两类经验模型。一类是Mikaelian模型[19]，适用于三维多模态界面在反射激波冲击后的演化，可描述为：

其中，h2表示反射激波作用后界面整体混合宽度（本文中为尖钉头部和气泡头部的距离，其大小是振幅的两倍）， ∆V2是反射激波冲击引起的界面阶跃速度（其反映反射激波的强度），A+2是反射激波波后的Atwood数。式（1）表明，反射激波冲击后的界面混合宽度增长率与A+以及激波强度成正比，而与反射激波冲击前的振幅增长率无关。Mikaelian根据大量的数值模拟结果求得经验系数C= 0.28。后来，学者们进一步研究发现，C的取值与反射激波作用前的界面演化程度相关[16-17]。将反射距离较小的三组工况的实验数据代入式（1），求得C值在0.7左右，而大距离工况的C值明显低于0.7。这说明，给定合适的经验系数，Mikaelian模型对小反射距离下的二维单模界面的演化也能给予有效的预测。

另一种经验模型是Charakhch'an模型[20]，适用于反射激波冲击二维单模界面的不稳定性问题，可描述为：

其中，h1是反射激波作用前界面的混合宽度。对于本文的四组工况，反射激波作用前，扰动界面均呈现清晰的二维结构，因此，相比Mikaelian模型，式（2）更适合预估本文实验中反射激波作用后的扰动增长率。Charakhch'an基于数值模拟结果，测得 β值在0.53～1.5之间，最终取平均值1.25。由于反射激波冲击二维单模界面的相关实验结果非常少，式（2）中的 β值一直没有得到实验结果的充分检验。本文的实验结果提供了一个检验 β值的良好机会。如表4所示，对于反射距离较小的三组工况，经验系数 β的值在0.83左右，这与Ukai[17]计算得到的 β值（在0.59～0.84之间，平均值为0.68）比较接近。然而，大距离工况的 β值仅为0.47。以上分析说明，采用恰当的经验系数，Mikaelian模型和Charakhch'an模型均能对反射激波作用后的扰动增长率给予合理预测。另外，两种模型的经验系数对反射激波作用前的界面演化状态较为敏感，如果某一初始条件（如反射距离）的改变引起了界面演化状态的变化，必须采用新的经验系数值。

3 结 论

本文采用线约束肥皂膜技术生成了较为理想的间断型air/SF6单模气体界面，获得了平面激波及其反射激波冲击下单模界面的不稳定性发展全过程，测量得到扰动振幅的发展规律，重点考察了反射距离对不稳定性发展的影响。研究发现：

1）在一定的反射距离范围内（不包括极小反射距离情形），反射激波作用后的扰动增长率几乎与反射距离无关，即与反射激波作用前的扰动振幅和增长率无关。随着反射距离的进一步增大，反射激波作用界面后的振幅增长率降低。

2）采用恰当的经验系数，Charakhch'an模型和Mikaelian模型均能对反射激波作用界面后的扰动增长率给予有效预测。以上两种模型的经验系数对反射激波作用前的界面演化状态较为敏感，如果反射距离的改变引起/（不引起）界面演化状态的变化，需要/（不需要）改变经验系数的值。