【摘要】解析几何学习中既包含代数运算，又包含对平面图形的认识和处理，充分认识所研究的几何图形，提高学生几何图形的分析能力，把握所研究对象的几何特征，学会在运算过程中利用图形的几何特征来简化运算，提高运算效率，是解析几何教学中必须予以重视的问题.

【关键词】解析几何;识图;教学反思

圆锥曲线是解析几何中的核心内容，谈到解析几何问题的解决，许多学生认为就是复杂的计算，没有规律可循，其实这是对解析几何学习的一种片面认识.解析几何的本质是用代数方法研究几何问题，几何是根本，运算是有数形结合特征的运算，而不仅仅是代数运算，所以加强解析几何中识图教学显得非常有必要.章建跃博士指出：用数形结合思想研究曲线，应贯彻先用几何眼光观察与思考，再用坐标法解决的策略[1]，让学生参与到学会识图的过程中，引导学生注意运算与几何的相互为用，有目的地引导学生学会分析几何图形的要素及其基本关系，再用代数语言表达，这样能够拓展解题视野，优化运算求解过程，教师只有注意渗透、反复强化这种解题策略并贯穿解析几何学习的全过程，学生才能从繁琐的运算中解脱出来，从而不断提高学生分析问题和解决问题的能力.下面这道解析几何题有丰富的几何特征，通过多角度的识图，开辟不同的解题途径，谈一点自己的思考.

1试题再现

最近，我校高三检测考试选取了下列这道解析几何题作为压轴题：

题1如图1，已知点A，B在椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）上，点A在第一象限，O为坐标原点，且OA⊥AB.

（1）若a=3，b=1，直线OA的方程为x-3y=0，求直线OB的斜率;

（2）若△OAB是等腰三角形（点O，A，B按顺时针排列），求ba的最大值.

第一问只要根据条件列式求解，难度不大，从学生做题的效果来看，全班学生都能正确解答，学生第二问普遍不会解，正确率很低，能够动笔写一点有效过程的学生很少，究其原因找不到解题思路，虽然这道题有一定难度，但如此低的正确率还是不应该，要求学生完全正确解答，也确有难度，但完全找不到解题思路，一点过程也写不出，似乎不正常.

2问题分析

对于第（2）小题，笔者对所在班级的学生做了调查：一是目标函数难以建立，ba究竟用什么量表示，难以下手;二是部分学生试图通过设直线OA的斜率表达A，B两点坐标，虽只有一个变量，但面对复杂数据难以求出B点坐标;三是部分学生试图通过设A，B两点坐标，进行求解，由于变量较多而无法求解.

本题看似平淡，但学生对等腰直角三角形这个条件，认识不深，不能由此找到合理的解题思路.究其原因，是学生识图能力不强所致.他们不能根据“直角”和“等腰”这两个要素，转化至合理的代数运算.因此，需要加强识图能力的教学，引导学生对图形进行多角度分析、深入思考，与学生共同分析比较图形的不同表征，让他们学会代數运算与几何直观的相互转化，得到不同的解题方法，从而找到合理的解题思路.

3必要性分析

在解析几何教学中，是否有必要加强识图教学？再看下面题2：题2如图2，已知点A，B，M，N为抛物线y2=2x上四个不同的点，直线AB与直线MN相交于点（1，0），直线AN过点（2，0）.

（1）记A，B的纵坐标分别为y1，y2，求y1y2的值;

（2）记直线AN，BM的斜率分别为k1，k2，是否存在实数λ，使得k2=λk1？若存在，请求出λ的值;若不存在，请说明理由.

仔细分析这道题的图形特征，就是要由三个三点共线（点A，（1，0），B共线;点M，（1，0），N共线;点A，（2，0），N共线），得两条直线的斜率关系.而且第（1）小题已经铺垫了一个三点共线（点A，（1，0），B共线），可以通过不同方法得到y1y2=-2.设M，N的纵坐标分别为y3，y4，由点M，（1，0），N共线与点A，（2，0），N共线，同理可得y3y4=-2，y1y4=-4.而k2=y3-y2y234-y224=4y3+y2，k1=4y4+y1，只需运用上述三个等式将y2，y3转化为y1，y4即可.

所谓识图，就是要分析图形的形成过程，找到图形的基本关系和核心要素，再用代数语言表达出来，通过合理转化即完成解题.像上述题2，三个三点共线是基本关系，可运算得其代数关系式，通过消元转化，就可以研究两条直线的斜率关系.因此，加强识图能力的教学，有助于解题思路的形成.下文以问题为例，展示由识图到解题思路形成的教学过程，与读者交流研讨.

4教学分析

4.1初识图形

问题1这次考试的压轴题，有一定难度，但图形却不复杂，请同学们再分析一下图形的形成过程，找一找图形中的关键条件，思考怎样处理这些关键条件.

学生容易发现关键条件OA⊥AB与OA=AB，怎样从代数运算的角度刻画这两个条件呢？只要设A（x1，y1），B（x2，y2），就有解题思路了.

由OA⊥AB，得x1（x2-x1）+y1（y2-y1）=0.①

由OA=AB，得x21+y21=（x2-x1）2+（y2-y1）2.②

且A，B两点的坐标还满足x21a2+y21b2=1与x22a2+y22b2=1.本题即可利用这4个等式转化研究ba的最大值.在此，要告诉学生一个道理，认真审题研究图形，就能找到解题思路，要大胆思考、要敢分析、要敢写，很多问题并不难.当然，这是一个初级解题思路，还要引导学生敢于运算.

问题2这4个等式涉及多个字母，如何消元转化到求ba的最大值呢？

引导学生观察这4个等式，不难得到消元思路.字母a，b保留，可尽量消去x2，y2或y1，y2，4个等式中，后3个等式都是平方项，显然由①式消元.

由①式得y1-y2=x1y1（x2-x1），

代入②式有x21+y21=（x2-x1）2+x21y21（x2-x1）2=（x2-x1）2x21+y21y21，解得x2=x1+y1，y2=y1-x1，

将A（x1，y1），B（x1+y1，y1-x1）代入椭圆方程，得x21a2+y21b2=1与（x1+y1）2a2+（y1-x1）2b2=1，两式相减即得目标b2a2=2x1y1-x212x1y1+y21，齐次式求最值，留时间让学生运算，最终得ba的最大值为5-12.

问题3上述解法是基本思路，不难想，只要大胆运算，运算量也不是想象的那么大.当然，能不能运用弦长公式适当优化解法呢？

问题3解题思路并没有变化，只是引导学生灵活解题.只要想到弦长公式，引入直线OA的斜率k，即可淡化y1，y2的运算.易得OA=x21+y21=1+k2x1，AB=1+1k2x1-x2，所以x1=x2-x1k，即x2=x1+y1，再由OA⊥AB可得y2=y1-x1.

4.2再识图形

问题4除了具备条件OA⊥AB且OA=AB是等腰直角三角形外，请同学们思考还有哪些条件能够满足是等腰直角三角形呢？

引导学生再次认识等腰直角三角形，并不难发现：由∠AOB=45°与OB=2OA，也能保证等腰直角三角形，这时可把OA，OB作为研究目标.因此，又得到另一解题思路：研究OA，OB的斜率关系，研究OA，OB的交点处理长度OB=2OA.

设直线OA斜率为k，倾角为θ，则k=tanθ，由∠AOB=45°，得kOB=tan（θ-45°），所以kOB=k-11+k.

由y=kx，

x2a2+y2b2=1，得x21=a2b2b2+a2k2，所以OA2=（1+k2）a2b2b2+a2k2，同理可得OB2=1+k-11+k2a2b2b2+a2k-11+k2=2（1+k2）a2b2b2（1+k）2+a2（k-1）2，由OB=2OA，得b2k2+2（b2-a2）k+a2=0，所以4（b2-a2）2-4a2b2≥0，解得ba≤5-12，当k=5+12时取到最大值.

若有的学校教师补充过复数旋转的相关知识，还可引导学生从复数旋转的角度进一步认识图形.

问题5我们曾经补充过复数的相关知识，能不能运用复数知识解决这个问题？

容易发现，OB逆时针旋转45°且长度变为原来的22，即得OA.设A（x1，y1），B（x2，y2），分别对应于复数x1+y1i与x2+y2i，则22（x2+y2i）（cos45°+isin45°）=x1+y1i，所以（x2-y2）+i（x2+y2）=2x1+2y1i，解得x2=x1+y1，y2=y1-x1.（下同问题2的处理）

4.3转换视角

解析几何是用代数方法研究几何问题的，既是幾何问题，就不能忽略几何图形中隐含的信息.若能充分借用几何关系，深层次挖掘几何信息，探求问题本质，则可简化代数运算，使复杂问题简单化，有效提高解题效率.

问题6对于条件“等腰直角三角形△OAB”，能不能运用几何关系得到A，B两点的坐标关系？

学生虽知道初中几何知识，但长时间不运用，当然不能迅速解决问题6.需要再引导，从几何的角度，研究点的坐标怎么处理？这时学生可能会想到作坐标轴的垂线，给点时间学生思考，他们能得到以下处理：

如图3，过点A作y轴垂线交y轴于M，过点B作BN⊥AM于N，由△OAB是等腰直角三角形，易得△AOB≌△ANB，容易得到OM=AN，AM=BN，从而得到A，B两点的坐标关系.

本题最为简洁的解法，在问题中所涉及的几何要素上加强引导学生“识图”，代数式的化简、方程的变形与转化都起着很重要的作用，在不同的解法中比较，细节不同的处理，需要循序渐进地引导学生感悟.

问题7若将等腰直角三角形△OAB，改为∠AOB=60°的直角三角形，怎么处理？请同学们根据本节课的研究，从不同的角度认识这个问题.

问题7作为课后思考题的主要目的，一是激发学生研究的热情;二是让学生进一步认识这类图形的本质.这样将数形结合思想方法融入到具体的问题解决过程中，使学生在实践中加深“识图”的理解，逐步养成数形结合解决解析几何问题的思维习惯.

5教学反思

通过这道例题，有效识图，灵活处理运算的多元表征，尝试每种几何特征下的运算量，合理规划运算路径.学生在解题实践中有意识地去感悟不同识图方式带来的多种解法，分析不同解法带来的运算量和表达方式的差异.通过分析运算条件、探究运算方向、设计运算途径，不仅让学生体会利用等腰直角三角形的性质解决问题，而且通过识图带来不同解法的比较，其中更有简捷、优美的解法，体现了多想少算的原则和较高的理性思维水平，使学生也体会了解析几何运算中所具有的特点：先分析清楚研究对象的几何特征，学会有效认识图形中的角度、长度、位置关系，把握所研究对象的几何特征、明确面临的几何问题，找到合理的几何关系，将几何元素及其关系代数化，在运算过程中充分利用相应的几何特性来简化运算，使复杂问题简单化，然后运算推理和求解，这是化解数学运算难点的重要举措.通过不断探索、归纳和总结的体验和感悟，积累运算经验，寻求合理简洁的运算途径，从而提升解析几何问题解决能力，提高学生数学核心素养.

参考文献

[1]章建跃.利用几何图形建立直观通过代数运算刻画规律＼[J＼].数学通报，2021（08）：110.

作者简介梁永年（1978—），男，江苏滨海人，中学高级教师， 盐城市高中数学教学能手，2020年10月获盐城市基础教育成果一等奖，2021年1月获江苏省教科研先进个人;主要研究高中数学教育与教学.