胡敏

古今中外有不少著名的悖论，激发了人们探究的兴趣.在解决悖论难题的过程中，人们有了许多新的认识和发现.

一、悖论的定义

所谓悖论，从字面上讲就是荒谬的理论.那么，为什么要用“悖论”这样一个晦涩古怪的名词呢？按照美国柯朗数学研究所美国数学家克莱因（M.Kline）教授的说法，那是为了不把自相矛盾的真相摆在桌面上，才采用了这样一个婉转的措辞.当然，克莱因教授是针对Paradox（矛盾的人或事物、情况）才这样说的，并不是针对“悖论”.然而，时间一长，人们也习惯了悖论这一词汇，其真实涵义就人人皆知了.

所以，我们主张采用著名逻辑学家弗兰克尔（A.A. Fraenkel）与巴-希勒尔（Y.Bar-Hillel）的说法，如果某一理论的公理和推理原则看上去是合理的，但由这个理论却推出了两个互相矛盾的命题，或者证明了这样一个复合命题，它表现为两个互相矛盾的命题的等价式，那么，我们就说这个理论中包含了一个悖论.这样来定义悖论较为全面而且合理.因为在这里，首先指明了任何一个悖论总是相对于某一理论系统而言的；其次又指出了一个悖论可以表现为某一理论系统中两个互相矛盾的命题的形式；最后才指出，悖论也可集中地表现为“肯定等价于否定”的复合命题.这样看来，只是抽取了弗兰克尔陈述中的最后两句话作为悖论的定义，这当然是不够全面的，也不合理.另外，弗兰克尔陈述中的第一句话，不仅是指明了任一悖论总相对于某一系统这一点，还强调了该系统的公理和推理原则看上去是合理的.如果不强调指出这一点，那么我们就可以轻而易举地把一些明显的矛盾命题凑合在一起，将其算作一个系统，然后宣布在这个系统中发现了许多悖论.

二、悖论的起源

关于悖论的起源，可以追溯到古希腊和我国先秦时期，但在那个时代及其往后的一个相当长的历史时期中，悖论往往泛指那些推理过程看上去是合理的，但推理的结果却又违背客观实际的说法.例如，著名的芝诺悖论：希腊神话中善跑的英雄阿基里斯在赛跑中不可能追上起步稍微领先于他的乌龟，因为当他要到达乌龟出发的那一点，乌龟又向前爬动了.阿基里斯和乌龟的距离可以无限地缩小，但永远追不上乌龜.

在历史上，还有另一种与之相反的情形，也称之为悖论，那就是由于新概念的引入而违背了具有历史局限性的传统观念，这也被称为悖论.这就不是看上去推理好像合理的问题，而是传统观念貌似真实的事了.例如意大利数学家伽利略（Galilei）发现了对平方数与自然数一一对应，但全体自然数与部分自然数不是一一对应的，这就产生矛盾了，在历史上这也称为伽利略悖论.这不是推理上的问题，而是由于“全体”大于“部分”的原则是从有限数量的事物关系中抽象出来的，自然不适用于无穷集合的情形了.诸如此类的悖论还可列举，例如，鳄鱼的二难论：有一天，一条鳄鱼从一位母亲的手中抢走了她的孩子.这位母亲苦苦地哀求鳄鱼：“我只有这么一个孩子，求求你千万不要伤害他，你提出什么条件我都答应你.”鳄鱼听了非常得意，就对这位母亲说：“那好，我向你提一个问题，让你猜，如果你答对了，我就不伤害你的孩子，并把孩子还给你；如果你答错了，我就要吃掉你的孩子.”鳄鱼问这位母亲：你猜我会不会吃掉你的孩子？这位聪明的母亲仔细地琢磨了片刻，说：“鳄鱼先生，我想你是要吃掉我的孩子的.”鳄鱼冷笑着说：“你猜对了，我当然会吃掉你的孩子，哈，哈……可是，如果我把孩子还给了你，那我就没吃掉你的孩子，你就猜错，那我就可以吃掉你的孩子了.”说着，就要吃小孩.这时母亲急忙说：“慢着！你刚才不是说，我答对了，你就不吃孩子了吗？现在如果你吃掉了我的孩子，那我就答对了，你就必须把孩子还给我.”鳄鱼惊呆了，心想：“对呀，如果我吃了小孩，她就答对了.不行，看来这个小孩不能吃.”“那么，我应该怎么办呢？”鳄鱼碰到了难题：它既要吃掉小孩，同时又得把小孩还给他的母亲.不过，鳄鱼又想：“如果我把孩子还给她，那么，她就答错了.所以，我就应该吃掉小孩.”这样一想，鳄鱼坚持不把小孩交给他的母亲.然而，这位母亲仍然坚持说：“你必须把小孩还给我.因为，如果你吃了我的小孩，我就说对了，你就得把孩子还给我.”

这时鳄鱼便陷入一个矛盾当中，无论鳄鱼怎样做，都无法兑现自己的许诺.因为鳄鱼的诺言有两项内容：

A.如果妈妈猜对，我就释放小孩；

B.如果妈妈猜错，我就吃掉小孩.

在妈妈表达了猜测之后，鳄鱼的行为只有两种选择，而这两种选择都与鳄鱼原先的诺言相违背.

鳄鱼的第一种选择是把小孩吃掉.这种选择的结果是那位妈妈的猜测是正确的，按照鳄鱼原先的许诺（A），此时鳄鱼应该把小孩“毫发无伤”地归还！但是鳄鱼却把小孩吃掉了，所以鳄鱼违背了自己的诺言.

公元前六世纪，克里特哲学家埃庇米尼得斯（Epi？ menides）发现了一个不是真正意义上的悖论，即一个克里特人说：“所有的克里特人所说的每一句话都是谎话.”试问这句话是真是假.如果它是真话，则因这句话也出自一个克里特人之口，故按此话可推知这句话是假的.因为，由这句话是真的可导致它是假的.但反过来，若设这句话是假的，则并不导致任何矛盾.但仅由它是真的可导致它是假的这一点而言，就足以引人注目了.

上述那个不是真正意义上的悖论，却被误认为是悖论，其实是一种误解或疏忽.因为假定这句话是假的，它并不引起矛盾，更推不出它是真的，至多说，并非每个克里特人总在说谎.在历史上，这个原来被认为是悖论，而实际上不是悖论这一点，也早已为人们所觉察，并设法修正它.最先是埃庇米尼得斯（于公元前4世纪）把上述命题改述为：现在我说的是一句假话.罗素指出，如果假定在此克里特人说这句话之前，每个克里特人所说的每句话皆为假话，那么上述原始命题便构成悖论.因由原始命题为真命题推导出它是假命题，现假定原始命题为假命题，则至少有一个克里特人说过一句真话，但因为有了如上这样一个前提，有且仅有这一原始命题是真话，故又由它推导出它为真命题.这就构成了一个悖论.

这些例子都存在着一个概念自指或自相关的问题：如果从肯定命题入手，就会得到它的否定命题；如果从否定命题入手，就会得到它的肯定命题.由概念自指引发的悖论和引进无限带来的悖论有很多，再举一个例子，一个人说：“上帝是全能的，全能就是胜过一切.”试问此话的真假性如何？设其为真命题，则可问：“上帝能否创造一个对手来击败上帝呢？”如果能，那么上帝就要被上帝自己创造出来的对手击败，故上帝并非全能.如果不能，就说明上帝还有事情做不到，即并非全能.不论怎么说，均导致“上帝全能”这句话为假命题.但是，反过来设这句话为假命题，则并不导致任何矛盾，因为全能的上帝本来就不存在.

以上两例均不构成悖论，却指明了一个逻辑推理，即当否定者自身被包括在被否定的对象中时，则必然可推导出它的反面.因为上帝自己也置身于这一切之中，否定“上帝全能”就必然否定了上帝自身.前例中那个克里特人也是一样，由于他自身就是克里特人，必然导致他自身说谎.

后来，人们顺着埃庇米尼得斯的原始命题，构造了等价于上述埃庇米尼得斯命题的悖论：永恒性说谎者悖论，即：在本页本行里所写的那句話是谎话.

由于除了这句话本身之外别无任何其他的话，若设该话为真命题，则要承认该话的结论，从而导出该话为谎话.若设该话为谎话，则应肯定该话的结论为真命题，因之推出该话为真命题.这就构成了真正意义的悖论.

问题出在什么地方？这是由于语言层次的混乱造成的，被论断是真是假的话，与去论断它的话混为一谈.如果在下一行写上一句话：

（A）现在在下雨.

然后再在下一行写一句话：

（B）前一行里写的那句话是谎话.

这就不能构成悖论.话（B）是真是假，要看（A）的真假，而（A）的真假决定于现在是否下雨.在这里，话（A）是被论断的话，而话（B）是对（A）去作论断的话.故“撒谎者悖论”的症结就在于作论断的话与被论断的话混为一谈.

美国数理逻辑学家斯穆里安（Smullyan）写了一本书，其书名为“这本书的书名叫什么？”现把这本书放在桌子上，并有甲、乙、丙三个人围着它，因为甲不识字而指着该书问：“这本书的书名叫什么？”而乙指着这本书说：“这本书的书名叫什么？”这时丙在考虑，刚才乙讲这句话算是回答甲的问题呢？还是在重复甲的提问呢？而且乙可以叫别人永远猜不着.因为这既是问也是答.但是，如果乙诚心想回答甲的问题而又愿意把话说得清楚些，说：“这本书的书名就叫做《这本书的书名叫什么？》”，就不致于引起丙的烦恼了.在这里，同样存在着语义上的问题.

在19世纪末至20世纪初，由于出现了悖论，之前在逻辑学和数学中被认为是没有问题的基本概念、定义、推理的基本方法，都出现了问题，特别是经典集合论中被发现有自相矛盾的现象，这颠覆了人们的认知，导致“第三次数学危机”的出现.

悖论在现代逻辑学中有了新的作用，它们促使了新定理的发现（通常是负面的结果，例如不可证明性和不可判定性）.逻辑学中的很多基本概念之所以已经发展到了目前的状态，主要是得益于在解决悖论的各种尝试中获得的经验和成果.研究悖论解决方案的副产品包括：集合论的公理化，类型论的系统发展，语义学的基础，形式系统的理论.