■张文伟

平面向量是高中数学的重要概念，是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，并且是有效解决几何问题的一种有力工具。向量概念引入后，全等和平行、相似、垂直、共线、轨迹等就可以转换成向量的加减法、数乘向量、数量积运算，从而将图形的基本性转化为向量的运算体系。平面向量作为数学知识网络的一个交汇点，它是联系众多知识的媒介与桥梁，因此以向量为工具成为高考命题的一个亮点。下面就平面向量常见的典型考题举例分析，供大家学习与参考。

题型1：向量的有关概念

零向量和单位向量的两个注意点:零向量的方向是任意的，所有的零向量都相等；单位向量的方向不定，所有的单位向量不一定相等。共线向量与平行向量的区别与联系:平行向量也称为共线向量，共线向量所在的直线可以平行，与平面几何中的共线不同；平行向量可以共线，与平面几何中的直线平行不同。解决与向量概念有关问题的关键是突出向量的核心——方向和长度。

例1下列说法正确的是（ ）。

A.数量可以比较大小，向量也可以比较大小

B.方向不同的向量不能比较大小，但同向的可以比较大小

C.向量的大小与方向有关

D.向量的模可以比较大小

解：不管向量的方向如何，它们都不能比较大小，A 不正确。方向相同的向量也不能比较大小，B 不正确。向量的大小即向量的模，指的是有向线段的长度，与方向无关，C不正确。向量的模是一个数量，可以比较大小，D 正确。应选D。

跟踪训练1：给出下列四个命题:①若向量a＝，则|a|＝|b|；②若a是单位向量，b也是单位向量，则a与b的方向相同或相反；③若向量是单位向量，则也是单位向量；④以坐标平面上的定点A为起点，所有单位向量的终点P的集合是以A为圆心的单位圆。

其中正确命题的序号____是 。

题型2：向量的表示及应用

向量的两种表示方法:（1）几何表示法，先确定向量的起点，再确定向量的方向，最后根据向量的长度确定向量的终点；（2）字母表示法，为了便于运算可用字母a，b，c表示，为了联系平面几何中的图形性质，可用有向线段的起点与终点表示向量，如等。用几何表示法表示向量，便于用几何方法研究向量运算，为用向量处理几何问题打下了基础；用字母表示法表示向量，便于向量的运算。

例2某人从A点出发向东走了5m 到达B点，然后改变方向按东北方向走了m到达C点，到达C点后又改变方向向西走了10m 到达D点。

解：（1）由题意作出向量，如图1所示。

图1

（2）由题意知，∠DBC＝∠DCB＝45°，所以△BCD是等腰直角三角形，其中∠BDC＝90°，BC＝（m），CD＝10（m），所 以BD＝10（m）。△ABD是直角三角形，其中∠ABD＝90°，AB＝5（m），BD＝10（m），所以AD＝），所以）。

跟踪训练2：某次军事演习中，红方一支装甲分队为完成对蓝军的穿插包围，先从A处出发向西迂回了100km 到达B地，然后又改变方向向北偏西40°走了200km 到达C地，最后又改变方向，向东突进100km 到达D处，完成了对蓝军的包围。

提示：（1）由题意作出向量，如图2所示。

图2

题型3：相等向量和共线向量

相等向量与共线向量的探求方法:（1）寻找相等向量时，先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些同向共线；（2）寻找共线向量时，先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量。需要注意的是，在求解与向量平行相关的问题中，不要忽视零向量。

例3若四边形ABCD是矩形，则下列说法不正确的是（ ）。

跟踪训练3：设a，b是两个平面向量，则“a＝b”是“|a|＝|b|”的（ ）。

A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

提示：若a＝b，则|a|＝|b|，而|a|＝|b|不能推出a＝b，所以“a＝b”是“|a|＝|b|”的充分不必要条件。应选A。

题型4：向量的加减法运算

图3

题型5：向量的数乘运算

证明或判断三点共线的两种方法:一般来说，判断A，B，C三点共线，只需存在实数λ，使得即可；若存在实数x，y，使得且x＋y＝1，则A，B，C三点共线。证明向量共线，可根据向量共线定理，寻求唯一实数λ，使得b＝λa（a≠0）。已知向量共线求参数的值，可根据向量共线的条件转化为相应向量的系数相等求解。若两个向量不共线，必有向量的系数为零，利用待定系数法建立方程求得参数的值。

例5已知两个非零向量a与b不共线。

（2）试确定实数k，使得ka＋b与a＋kb共线。

（2）由两个向量共线，列出关于a，b的等式，再由a与b不共线求解。

由ka＋b与a＋kb共线，可知存在实数λ，使得ka＋b＝λ（a＋kb），即ka＋b＝λa＋λkb，所以（k－λ）a＝（λk－1）b。因为a，b是不共线的两个非零向量，所以k－λ＝λk－1＝0，可得k2－1＝0，解得k＝±1。

跟踪训练5：设a，b是两个不共线的向量。若向量ka＋2b与8a＋kb的方向相反，则k＝____。

提示：因为向量ka＋2b与8a＋kb的方向相反，所以ka＋2b＝λ（8a＋kb）。由向量相等可得解得k＝－4（两个向量的方向相反时λ＜0，也即k＜0）。

题型6：向量的数量积

求两个向量的数量积，首先确定两个向量的模及两个向量的夹角，其中准确求出两个向量的夹角是求数量积的关键。求向量的模，一般转化为求模的平方，且与向量的数量积联系，灵活运用公式a2＝|a|2，最后勿忘开方。利用a·a＝a2＝|a|2或|a|＝，可以实现实数运算与向量运算的相互转化。

例6如图4，在△ABC中，D是BC的中 点，E，F是AD上的两个三等分点，＝－1，则的值是______。

图4

图5

题型7：平面向量基本定理

如果e1和e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使得a＝λ1e1＋λ2e2。同一平面内的两个不共线向量都可以作为基底，基底不唯一；同一非零向量在不同基底下的分解式是不同的；基底给定时，分解形式唯一。e1，e2是同一平面内所有向量的一组基底，当a与e1共线时，λ2＝0；当a与e2共线时，λ1＝0；当a＝0时，λ1＝λ2＝0。由于零向量与任何向量都是共线的，因此零向量不能作为基底向量。

跟踪训练7：已知{a，b}是一个基底，实数x，y满足（3x－4y）a＋（2x－3y）b＝6a＋3b，则x－y的值为____。

提示：因为{a，b}是一个基底，所以a与b不共线。又因为（3x－4y）a＋（2x－3y）b＝6a＋3b，所以解得x＝6，y＝3，所以x－y＝3。

题型8：平面向量的正交分解及坐标表示

平面向量的正交分解的实质上是平面向量基本定理的一种应用形式，只是两个基底向量e1和e2互相垂直。由向量坐标的定义可知，两个向量相等的充要条件是它们的横、纵坐标对应相等，即a＝b⇔x1＝x2且y1＝y2，其中a＝（x1，y1），b＝（x2，y2）。向量的坐标只与起点、终点的相对位置有关，而与它们的具体位置无关。当向量确定以后，向量的坐标就唯一确定了，因此向量在平移前后，其坐标不变。

例8已知点O是△ABC内一点，∠AOB＝150°，∠BOC＝90°，设＝a，＝c，且|a|＝2，|b|＝1，|c|＝3，求向量的坐标。（以O为坐标原点，所在直线为x轴建立平面直角坐标系）

解：建立如图6所示的平面直角坐标系。

图6

题型9：平面向量数乘运算的坐标表示

两个向量a＝（x1，y1）与b＝（x2，y2）共线的三种表示方法:当b≠0时，a＝λb，这是几何运算，体现了向量a与b的长度及方向之间的关系；x1y2－x2y1＝0，这是代数运算，用它解决向量共线问题的优点在于不需要引入参数，从而减少未知数的个数；当x2y2≠0时,，即两向量的相应坐标成比例。

例9设向量a＝（2，x），b＝（－4，5），若a与b的夹角为钝角，求x的取值范围。

题型10：平面几何中的向量方法

用向量方法解决平面几何问题的“三部曲”:（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；（2）通过向量运算，研究几何元素的关系；（3）把运算结果“翻译”成几何关系。这三部曲给出了利用向量的代数运算研究几何问题的基本思想。在解决平面几何问题时，将平面问题转化为向量问题是关键。

例10已知A，B，C，D四点的坐标分别为（1，0），（4，3），（2，4），（0，2），则此四边形为（ ）。

A.梯形 B.菱形

C.矩形 D.正方形

题型11：向量在物理学中的应用

数学是物理解题过程中不可缺少的工具，向量是物理问题简化的有力法宝。用向量方法解决物理问题的“三部曲”:（1）把物理问题中的相关量用向量表示；（2）转化为向量问题中的模型，通过向量的运算使问题得以解决；（3）把结果还原为物理问题。

例11已知两个力F1，F2的夹角为90°，它们的合力大小为10N，合力与F1的夹角为60°，那么F1的大小为（ ）。

A.5N B.5N C.10N D.5N

解：由题意画出图形，如图7所示。

图7

由题意得|F1＋F2|＝|F合|＝10，所以|F1|＝|F合|cos60°＝5（N）。应选B。

跟踪训练11：某人在静水中游泳时，速度为4km/h。如果水流的速度为4km/h，他沿着垂直于对岸的方向前进，那么他实际前进的方向与河岸的夹角为（ ）。

A.90° B.30° C.45° D.60°

提示：由题意画出图形，如图8所示。

图8

题型12：余弦定理、正弦定理的应用

利用余弦定理和正弦定理可以解决求值问题，测量距离问题、高度问题、角度问题、面积问题等。

例12在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin2A＋sin2C＝sin2B＋sinAsinC，若△ABC的面积为，则B＝_____，当a＋c的值最小时，△ABC的周长为_____。

跟踪训练12：如图9，在海岸A处发现北偏东45°方向，距A处（－1）km 的B处有一艘走私船。在A处北偏西75°方向，距A处2 km 的C处的我方缉私船奉命以10km/h的速度追截走私船，此时走私船正以10km/h的速度，从B处向北偏东30°方向逃窜。问:缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船？求出所需时间。

图9

提示：设缉私船应沿CD方向行驶th，才能最快截获（在D点）走私船，则CD＝，BD＝10t。