孙学进　王德贵

有人问我，天天研究数学问题，数学到底哪里有趣了？数学之美又在哪里？其实，当你研究深入后，会发现数学真的很奇妙！也有很多未解之谜，今天我们来了解一下数学黑洞“6174”。

数学黑洞，就是无论怎样设值，在规定的处理法则下，最终都将得到固定的一個值，再也跳不出去了，就像宇宙中的黑洞可以将任何物质包括光都牢牢吸住，不使它们逃脱一样。

数学黑洞6174，又称卡普雷卡尔（Kaprekar）常数。内容是：

取一个4位数（4个数字全相同的除外），将该数的4个数字重新组合，形成可能的最大数和可能的最小数，再将两者之间的差求出来;对此差值重复同样过程，不足4位在末位补0，最后你总是会得到6174陷入卡普雷卡尔黑洞，而且经过我的验算到达这个黑洞最多需要7个步骤（注：百度百科上说，是14个步骤，存疑）。

今天我们用Python、图形化（SC）和APPInventor来做验证。

有趣的数学问题，加上Python编程，真是绝妙的搭配！近期也一直在和大家分享我的学习过程。在Python等级考试4级学习中，遇到了这个问题，经过一段时间的研究、探讨和分析感到收获颇多，分享给大家，希望能提高你学习Python的兴趣。

这是一个验证的问题，也要解决以下3个问题。

一是输入任意一个4位数（不包含全部相同的数字），验证最后经过运算是不是都得到“6174”;二是在一定范围内，是不是都能得到“6174”;三是得到“6174”最多需要多少个步骤。

首先要将4位数分解开单个数字，存储在新列表中，然后排序列表，输出最大和最小数，做差，然后再存储在新列表中，循环操作，直到得到6174，程序结束。

通过三种编程方法，分别验证，求解。

程序涉及到的是中国电子学会编程等级考试四级内容。

即是输入一个数字不完全相同的4位数，进行验证，看看能不能得到6174，需要几步。

1.递推法

输入一个4位数，但4个数字不能完全相同，将其转换为列表，排序、连接、转换出最大值和最小值，做差，再转换为列表，如果不够4位，则添加“0”，进行下一轮循环，直到得到“6174”，然后输出转换用了多少次（图1）。

下面是验证“1112”的输出结果（图2）。

2.递归法

递归与递推不同之处，是调用了自身，达到循环的目的。过程和方法与递推类似。

不同的是，递推算法中第7行的n=0，去掉了，这是因为如果加上这行，每次调用自身的时候，n都会归0，不能计数，所以必须先设置n=0，然后在自定义函数中用“global n”（图3）。

两种方法验证的结果是完全一样的。

即是验证一定范围内所有数字不完全相同的4位数，看看能不能得到6174，在这个范围内需要最多的步数是多少。

1.递推法

通过递推法验证（图4）。

在1100-1120范围内的验证结果。在“1111”时提示数字完全一样，不能验证（图5）。

在1000-9999范围内的递推法验证，即所有4位数的验证结果。在数字完全一样时，给出提示，从验证结果看，所有不完全相同的4位数，经过运算均可以得到“6174”，运算的最多次数是“7”。

2.递归法

递归法，和递推法一样，也是在验证的基础上，验证一定范围内的所有整数，经过运算是不是都能得到“6174”，并输出最多的运算次数。不同的是递归是通过调用自身，达到循环的目的。

同样，递归法需要将递推算法中的n=0去掉，而在遍历前设置n=0，然后在自定义函数中设置为“global n”。m为最大次数变量（图6）。

在1100-1120范围内的验证结果。在“1111”时提示数字完全一样，不能验证。验证结果和递推算法一样。

在1000-9999范围内的递归法验证，即所有4位数的验证结果。在数字完全一样时，给出提示，从验证结果看，所有不完全相同的4位数，经过运算均可以得到“6174”，运算的最多次数是“7”。我们看到，两种方法的验证结果是完全一样的（图7）。

1.递推法

将前面用递推法的验证和范围的两个程序合并在一起，但要考虑两种方法共同调用了自定义函数，所以需要将部分打印语句保留。

开始是选择“验证”还是“范围”，然后进入循环和调用，输入相关数据，进行运算，如果选择“退出”，则程序结束（图8、图9）。

2.递归法

递归法与递推类似，是将前面用递归法的验证和范围的两个程序合并在一起，同样，开始时还是选择“验证”或是“范围”，然后进入循环和调用，输入相关数据，进行运算，如果选择“退出”，则程序结束（图10、图11）。

在1100-1120范围内的验证结果。在“1111”时提示数字完全一样，不能验证。最后输出运算的最多次数。

验证和范围做在了一起，下面一一讲解。

1.初始化

输入想要验证的4位数，运算次数，都显示在屏幕上， 差值会随着运算改变，直到6174（图12）。

2.输入数据的检验

如果输入的数值不是4位数，则提示输入（图13）。

如果在1000-9999之间则开始运算。

3.验证并显示

先将输入的数值保存在变量“差”中，然后将其每个数字添加到列表“list”中，再调用自定义积木，排序并求最大和最小值（图14）。

如果差為“0”，即是数字相同时，将差设置为“6174”，因为循环的条件是差为“0”。最后提示运算了多少次。

4.自定义积木

自定义积木是为了运算的方便，也是为了程序设计方便。首先检查列表长度，如果小于4则添加“0”补足4位，否则运算会出错。

然后对4个数字进行从大到小排序，最后是输入最大值和最小值，以便计算时调用。同时清空数据列表，将4个变量初始化。

1.初始化

设置需要显示的变量，直观，明了。

输入范围的开始值和结束值。最后显示运算次数中的最大次数值。

2.验证并显示

在范围内依次取值，做验证即可。

循环方法是次开始值增加1，依次验证，当开始值大于结束值时，停止循环。所以循环是包括开始和结束两个值的（图15）。

注意几个问题：

一是数字全部相同的，要停止运算，进入到下一个循环，这里直接设置为6174（验证时停止循环的条件）;

二是保存运算次数的最大值，程序运算完，显示出来（图16）。

3.范围和验证合并

首先要将验证和范围都做成自定义积木，然后设计一个选择菜单，是做一个数据验证，还是验证一个范围内的所有数据，通过选择确定，如果输入其他则报错。这和Python程序设计思路是一样的。

1.UI设计

界面如图，无须做过多修饰，组件任意组合，能完成验证就可以（图17）。

2.变量和初始化

设置程序运行需要的变量，将程序初始化（图18）。

3.定义过程：建立数据列表

即可将4位数的4个数字添加到列表中，然后判断是不是数字全部相同，如果全部相同，则做标记（图19）。

4.定义过程：数字排序

将4个数字从大到小排序，然后输出最大值和最小值。

5.提交

判断输入是否为空，是否不是4位数，如果有一项不满足，就会提示输入有误（图20）。

如果输入正确，则判断是不是数字相同，如果数字相同，则提示不能输入相同数字的数（图21）。

如果数字不相同，则进入循环，直到结果为6174。

首先调用数字排序，然后计算差值，将运算次数加1，显示运算过程，同时再次调用建立数据列表，将计算出的差值依次添加到数据列表中，然后进入下一个循环，直到差值为6174（图22）。

完整的程序请在壹零社公众号下载。

测试结果（图23）：

1.UI设计

界面设计与验证相似，就是多加了几个组件（图24）。

2.初始化

其實设计时，考虑了两种情况合并的程序（图25）。

3.定义过程

定义过程建立数据列表和数字排序，和验证程序的一样。

4.提交

在一定范围内验证每个4位数是不是经过运算都能得到6174。

所以开始程序还是要检验输入数据的正确性，然后进行循环，从开始值依次加1到结束值，一一验证。最后显示运算的最大次数，与Python和Scratch相同。

验证过程基本和之前的一样。首先显示当前验证的值，然后调用“建立数据列表”，如果数字相同则提示（图26）。

否则就循环执行验证，直到差值为“6174”，同时显示本次运算的次数。如果运算次数大于最大次数，则将最大次数赋值为次数。

完整的程序请在壹零社公众号下载。

测试结果（图27）：

1.UI设计

界面设计与“范围”相同，本例在最初设计时，即考虑了合并状态。

2.变量和初始化

这个与验证时一样。

3.定义过程

这个也是一样的，建立数据列表和数字排序两个过程。

4.验证

验证4位数时，点击按钮，即设置初始化值。当前使用的按钮功能，会显示为红色背景（图28）。

5.范围

需要验证一定范围内的所有4位数时，点击按钮，即设置初始化值。当前使用的按钮功能，会显示为红色背景。

6.提交

提交按钮，要先判断是验证状态，还是范围状态，需要判断验证标记。如果验证标记为“真”，则进行验证界面，否则进入范围验证界面，两个程序如前（图29）。

由于前面分别测试过，所以这里不再测试。

三种方法的测试速度都非常快。由于软件的局限，设计思路稍有不同，但均完成了验证任务。

三种程序也可以进行改进，比如，每一步都是自己来完成计算，即输入一个数后，自己取最大和最小值，再做差，依次运算来验证。或是随时查看程序的验证过程。这里给出一个简单的Python程序示例，自定义函数与递推的验证程序一样。运行结果如下（图30）。

如果輸入有误，7次之内没有验证出来，则提示输入有错误，没有完成验证。

本文是我自己的研究过程和心得，有不妥之处，请各位老师和同学斧正！