周小平

(浙江省杭州市新登中学 311404)

数学课堂教学的一个重要部分是例题教学，教师的教学应围绕核心素养这个主题，充分发挥习题、例题的潜能作用，在教学中引导学生研讨一类习题及推广、引伸，使其问题变宽、变深、变活，从而起到巩固基础知识、形成基本技能、完善基本方法、总结基本经验，达到形成学生核心素养的目的，并从中选出好的题目，好的方法，达到最优化的教学.

1 一题多变，在问题的层层推进中，渗透数学素养

设计问题链，在问题的层层推进中，深化问题，把这个例题达到高考的要求，进而使学生“有梯可上，有扶手可抓，步步登高”，形成学生解决这类问题的思维素养，并能使学生始终处于愉快的探索状态，知识体系得以巩固提升.为了达到高考对求函数零点的要求，设计了如下问题链.

变式1 若g(x)=log2x，判定函数F(x)=f(x)-g(x)的零点有____个.

变式2 若g(x)=log2m，判定函数F(x)=f(x)-g(x)的零点有____个.

变式3 若g(x)=log2x，判断F(x)=f[g(x)]-1的零点有____个.

(1)y=f[g(x)]-1的零点个数；

(2)方程ag2(x)+bg(x)+2=0有四个根时，实数a,b的关系是什么？

通过这几个问题链， 把零点问题提高到了高考的高度，使学生在这一系列的问题中，思维层层推进，把潜藏的思路、规律、本质发掘出来，数学素养无形中得以形成.

2 一题多法，在问题的多种解答中，提升数学素养

同一事物或现象，当人们站在不同角度来观看、审视时，就会看到不同景观，正所谓“横岭侧峰”.引导学生对同一题目从不同角度快速联想及思考问题，探求解答的不同方案，从而拓宽思路，培养思维的广度、深度，进而让学生选择适合自己的方法，达到方法最优化.

图1

图2 图3

图4

3 一法多题，在多题的类同解法中，拓展数学素养

在高考数学试题中，运用线性规划思想，妙解函数、不等式、概率、数列、解析几何等问题.一法通用，一法通关，从而达到熟一法、懂一类的效果，并通过这样一种方法，寻找各个知识模块之间的联系，充分体现了核心素养的特性.

例3(2015年浙江文科高考试题)设函数f(x)=x2+ax+b,(a,b∈R).已知函数f(x)在[-1,1]上存在零点，0≤b-2a≤1，求b的取值范围.

变式3 已知直线l:2tx+ty+1=0和点A(1,3)和B(5,4)，若直线l与线段AB有公共点，求实数t的取值范围____.

4 引申变式，在问题的创新转换中，推进数学素养

研究高考问题和课本例题、习题之间的关联， 通过引申变式，让学生看到一题通过多次引伸后如何出现在高考试卷上，让学生真正理解高考试题如何“源于课本，高于课本”.数学思想达到最优的提升，推进数学素养.

(1)求C的方程，并说明C是什么曲线；

(2)过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为点E，连接QE并延长交C于点G，证明：△PQG是直角三角形.

方法小结第(1)问与课本的例题是一样的，这体现了高考试题源于课本，第(2)问可以根据例题加以引申得出结论，达到高于课本，达到高考的要求.

变式2 (2012年湖北理高考)设A是单位圆x2+y2=1上的任意一点，l是过点A与x轴垂直的直线，D是直线l与x轴的交点，点M在直线l上，且满足|DM|=m|DA|(m>0，且m≠1).当点A在圆上运动时，记点M的轨迹为曲线C.

(1)求曲线C的方程，判断曲线C为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标；

(2)过原点且斜率为k的直线交曲线C于P，Q两点，其中点P在第一象限，它在y轴上的射影为点N，直线QN交曲线C于另一点H.是否存在m， 使得对任意的k>0， 都有PQ⊥PH？ 若存在，求m的值；若不存在，请说明理由.

数学基本知识、基本技能是双基目标，随着课程标准的要求，在双基的基础上加上数学的思想方法和数学基本活动经验，这就形成了四基.学生四基的构建和形成，自然而然变成了学生的三维目标，进而形成学生的核心素养.

总之，指点学生往哪里走，比教会学生怎样走路更重要，因此知识引领、能力引领、思想引领、经验引领也更加重要.高中数学作为基础教育课程应体现其基础性、拓展性、发展性.从期望学生“学会什么”出发，逆向设计“学生何以学会”的过程，作为每一节课的初衷，设计上好每一节课，给每一位学生每一天一份适合的礼物，让学生有所学、有所会、有所懂、有所用，为学科核心素养的落地指明清晰的路径.