祖丽胡玛尔·卡迪尔，阿米娜·沙比尔

(喀什大学数学与统计学院，新疆 喀什 844000)

0 引言

扩散方程是一类基本的运动方程，是抛物型偏微分方程一个很重要的分支，在众多领域都有着广泛的应用，可用于环境科学、能源开发、流体力学和电子科学等许多领域[1].因此，数值求解抛物型偏微分方程问题具有重要的理论意义和实用价值.求解扩散方程的数值方法主要是有限差分法、有限元法、有限体积法等多种方法.但是对于对流占优问题，通常是用差分法或有限元法进行求解.本文利用三种差分格式求解了一维扩散方程的数值解，并给出了稳定性比较，最后通过数值算例进一步说明了数值解法的有效性.

1 差分格式的建立

考虑以下常系数扩散方程的初边值问题：

其中，a>0为正常数，f(x,t),φ(x),α(t),β(t)都是已知函数，L为空间长度，T为时间长度.

首先，对求解区域D={(x,t)|0 ≤x≤L,0 ≤t≤T}作矩形网格剖分，将空间[0,L]等分m份，节点为xi=0+ih（0 ≤i≤m，h=）.再对时间区间[0,T]等分n份，节点为tj=0+jτ（0 ≤j≤n，.这样得到(m+1)(n+1)个网格节点(xi,tj).

1.1 向前欧拉格式

在网格节点建立节点离散方程，即

关于时间的一阶导数的向前差商形式为

上式误差为O(τ).

类似地，关于空间的二阶偏导数的中心差商形式为

上式误差为O(h2)

将式（3）和（4）带入（2）式中的第一式，再用数值解近似代替精确解u(xi,tj)，并忽略高阶小项，即可得到向前欧拉格式：

经过整理可得向前欧拉格式：

由（6）式知，第j+1 个时间层上的数值解可由第j层上的已知信息表示出来.如此一层一层计算，可得到所有网格点的数值解，计算简单、便捷[2].

1.2 向后欧拉格式

对时间的偏导数用向后差商，关于空间的二阶偏导数用中心差商代替，再用数值解近似代替精确解u(xi,tj)，并忽略高阶小项，即可得到向后欧拉格式：

实际计算时，在每个时间层都需要求解一个线性方程组，计算比较复杂[3].

1.3 Crank-Nicolson 差分格式

对时间的一阶偏导数用中心差商代替，则有

上式误差为O(τ2).

接下来处理虚拟节点处关于空间的二阶偏导数

将上面两式代入式（10）得

上式和（9）式一起代入（8）式，用数值解近似代替精确解u(xi,tj)，并忽略高阶小项可得Crank-Nicolson差分格式：

易见，此格式的阶段误差为O(τ2+h2).

整理上述格式，可得

上式的矩阵形式可以利用追赶法来求解.

2 稳定性比较

向前欧拉格式[5]是条件稳定的，其稳定性条件为r=，如果网格比不满足稳定性条件，导致最后结果失效.

向后欧拉格式是无条件稳定的，网格比很大情况下数值解仍然收敛.

Crank-Nicolson 差分格式[4]是二阶无条件稳定的，其中一个至关重要的因素就是将原项方程弱化，使之在相邻时间层网格节点的终点处成立，而不是在网格节点处成立.

3 数值算例

例：计算抛物型方程的初值问题

已知其精确解为u(x,t)=tsin(x).

由表1 和图1 可见，r=0.5 时数值结果完全吻合；当网格步长不满足稳定性条件时，误差会以指数增长，结果不收敛，数值结果无效.这表明向前欧拉格式是条件稳定的.由表2 和图2 可见，无论r的取值如何，也就是无论时间、空间步长如何选取，向后欧拉格式恒稳定，即该格式是无条件稳定的.由表3 和图3 可见，Crank-Nicolson 格式是无条件稳定的，差分格式是二阶精度的.

表1 当r=0.5时，向前欧拉格式的数值解和精确解

表2 向后欧拉格式在不同网格步长下的数值解

表3 Crank-Nicolson差分格式在不同网格步长下的数值解

图1 向前欧拉格式

图2 向后前欧拉格式

图3 Crank-Nicolson格式

4 结论

本文讨论了求解抛物型方程初边值问题的几种常用方法，如向前欧拉格式方法、向后欧拉格式方法、Crank-Nicolson 格式方法，并了解各种方法的优缺点.结果表明，向前欧拉格式方法计算简单、直接，但稳定性差，只有在时间、空间步长的合理选取之下才能保证数值解的收敛性；向后欧拉格式方法则弥补了向前欧拉格式方法的缺点，不需要考虑时间、空间步长的选取，但每个时间层上都要求解一个线性方程组，计算量会加大.这两个格式方法的精度都是时间一阶、空间二阶；Crank-Nicolson 格式方法是无条件稳定的，时间和空间都是二阶精度的.