■陆祥雪 吴秋芳

知识与能力是教师专业发展的两个方面。知识主要包括教育知识和学科知识两个方面，这两个方面融合为一体形成学科教学知识（简称PCK）。顾泠沅先生认为教学案例是发展PCK的重要载体。为了探求环形跑道问题中的相等关系，笔者先组织学生模拟跑，再用几何画板模拟实验。通过不断优化，发展了教师的教学能力，促进了教师的专业发展。

一、教学实施

问题1:运动场环形跑道周长400m，小红跑步的速度是爷爷的倍，他们从同一起点沿跑道的同一方向同时出发，5min后小红第一次与爷爷相遇。请问:小红和爷爷跑步的速度各是多少？

这是苏科版《数学》七年级上册“用一元一次方程解决问题”中的问题4。教材在分析中直接给出这个问题的数量关系式：小红跑的路程-爷爷跑的路程=400。

那么，教师在授课时，怎么来阐述这个相等关系呢？

师：这个问题中的相等关系是什么呢？

生1：第一次相遇时，小红比爷爷多跑一圈。

师：你是怎么知道的？

（学生1沉默。）

师：好！为了验证这位同学所说的相等关系，我们用几何画板做个模拟实验。如图1，我们用实心点表示小红，空心点表示爷爷，为了方便区分，我们将小红与爷爷的同一跑道，分离为两个同心圆，不过我们认为它们的半径是相同的。图中的“动画点”就相当于小红与爷爷起跑的“发令枪”，我只要一点击，两个点就运动起来了。现在我开始点击“动画点”，请同学们注意观察小红比爷爷多跑了多少？

在学生观看两个点的运动的同时，教师手握鼠标，当实心点与空心点第一次相遇，再次点击“动画点”停止运动（如图2）。

图2

师：好！我们现在停止运动，请问，小红与爷爷第一次相遇时，小红比爷爷多跑了多少？

生1：多跑了一圈。

师：你是怎么知道的？

（学生1还是沉默。）

师：我们重新演示一遍。

师：当实心点（小红）再次回到起点时（如图3）（此时教师点击“动画点”按钮，使两点运动停止），此时实心点（小红）已经跑了多少？

图3

生1：一圈。

师：当实心点（小红）第一次与空心点（爷爷）相遇时，小红比爷爷多跑了多少？

生1：还是一圈。

师：请你解释一下原因。

生1：因为从小红再回到起点到追上爷爷（第一次相遇），小红与爷爷跑的路程是相同的，而在此之前，小红已经跑了一圈，所以小红比爷爷多跑了一圈。

师：很好！那就请你到黑板上来完整地解答这个问题。

师：接下来我们再看一下这道题的变式题。如图4，小明与小华在一个边长为100米的正方形ABCD的跑道上练习跑步，小明的速度为每分钟200米，小华的速度为每分钟150米，小明、小华分别从A、B两点同时出发，按顺时针方向跑。请问：当小明和小华首次相遇时，此题的相等关系又是什么？

图4

生2：小明比小华多跑了300米。

师：为什么？

生2：小明跑到小华的起点B时，小明跑了300米，当小明首次与小华相遇时，小明比小华多跑了300米。

师：同意的请举手。

二、教学改进

起初，设计教学方案时，为了寻找相等关系，教师请两名学生到讲台来，站在同一个位置。一名学生扮演“小红”，另一名学生扮演“爷爷”，沿教室内的过道，来模拟跑。教师提醒学生注意观察小红比爷爷多跑了多少。于是，两名学生在教室内跑了起来。教师问：“小红是不是比爷爷多跑了一圈？”有学生说“是的”，但大多数学生不发声。教师发现回答的人很少，就觉得可能有学生没有看清，于是，又重新演示了一遍。当教师再次提问时，学生的回答还是很少，说明大多数学生没有看清问题中的相等关系。

设计模拟跑的目的是用实际情境帮助学生寻找问题中的相等关系，提升学生的参与度，提高学习兴趣。但学生并没有通过这个模拟跑的实验发现问题中的相等关系。另外，教师在学生没有办法说明“小红比爷爷多跑一圈”的情况下，也没有帮助学生解决这个疑惑，而是选择避而不谈。笔者对此教学设计进行反思，问题出在何处？在教室里模拟跑，学生的注意力仅是集中在两个学生身上，而不能观察到两个学生的行进路径。找到问题的症结，笔者做出几点改进。

改进的目标是化不可视的行进路径为可视。于是，有了两个改进的方案：一是用线示法，将小红与爷爷跑的路线画出来，如图5，让学生直观地比较小红比爷爷多跑了多少。在起点与相遇点之间，小红与爷爷有一段路程是一样的，如果我们把它们擦除，剩下的部分恰好是一圈。二是用几何画板来进行模拟实验，这样小红与爷爷跑的路径可视性更强，且不需要场地。

图5

三、教学反思

从最初设计到优化后的最终设计，经历了“设计—实施—反思—改进”的循环过程，这个过程不但提高了课堂教学效率，而且促进了教师自身发展。

1.“设计—改进”促进终身学习。

在“环形跑道问题”中，学生不能探索出相等关系，所以需要改进设计，打破原有的知识、思维框架，否则只能墨守成规，不断退步。

现代教育技术已经得到了很大的发展，虽然知识是古老而陈旧的，但借助新技术，知识以新的面貌呈现。其实，只要用几何画板的动态演示就能解决这个问题。利用软件对动点的追踪功能，学生可以很全面地从整体上观察两人的跑步路径，而不是在教室或操场上只能看到局部的情形。这就是PCK分类中的一类，即将特定的学习内容呈现给学生的策略知识。

2.“设计—改进”促进深度思考。

利用几何画板让学生直观地观察小红比爷爷多跑了一圈，但学生受路径重叠的影响，效果反而不如图5的“线示法”。学生在解决变式题时受挫，这都促使我们去反思，去进行更深度的思考，触及问题的本质，由教师的深度思考去引导学生的深度学习。其实，这个模拟实验，让我们从直观上获得了感性知识，同时，还体现数学的理性特点。怎么说明这个从实验中获得的相等关系？这就需要教师在备课时做充分思考。我们为什么要从运动过程中抽出图3，而不是仅仅出现起点与终点的图1或图2，目的就是为进行理性的解释铺路。当小红再回到起点时，她已经跑了一圈，小红从现在到与爷爷第一次相遇，两人所跑的路程相同，所以小红比爷爷多跑了一圈。根据学生回答的情况，可以多次重复演示，并在小红回到起点时停留，让学生观察，找准观察的对象。这实际上就是基于同一个起点，如何比较小红和爷爷所跑路程的长短问题。学生在明晰这点之后，就可以扔掉“直观”的拐杖，解决相关的变式题。实践证明，教师利用改进优化后的方案实施教学，学生解答变式题的准确率提高很多。

3.“设计—改进”促进“四个理解”。

章建跃博士提出“理解数学、理解学生、理解技术、理解教学”。我们要充分掌握这四个“理解”间的关系，恰当地使用信息技术帮助学生理解数学内容。信息技术起辅助作用，还得结合学生的想象力。对七年级学生来说，形象思维占主导地位，所以我们通过几何画板来直观、整体地呈现小红及爷爷跑的过程，有助于学生突破难点，理解相等关系。教师应树立终身学习的理念，与时俱进，只有常备一桶活水，方能浇灌新时代的花朵。