李 刚

(延安大学 物理与电子信息学院，陕西 延安 716000)

0 引言

在1988年，弱测量理论由Aharonov等[1]人提出，通常被称之为弱值放大(Weak value amplification,WVA)。目前为止，弱测量已成为最有前途的精密测量工具之一，它已应用于各个研究领域，包括解释一些违反直觉的量子悖论[2-4]。在弱测量中，指针与被测量系统是弱耦合的。与投影测量(强测量)对比，如果指针的初始波函数的宽度很大，则在弱测量中指针的输出信号(即指针观测量的值)会远远超出系统观察量的特征值的范围。这个结论归因于指针的量子态叠加(量子干涉效应)：当被测量系统发生接近正交的后选择后，指针上两个或多个略有不同的高斯态的叠加[1,5]使得系统观测量的值超出其特征值的范围。最近发现，弱测量可以帮助测量较小的物理量[6]或对较小的物理参数进行灵敏地估计[7-8]，然而传统技术很难直接检测到它们。大多数弱测量方案都可以通过经典波动力学来解释[7-9]。此外，更多有关弱测量的研究可以参考这些文献[10-11]。

尽管有很多关于弱测量的研究方案，但是弱测量放大的精确解研究不是很多。下面我们从任意量子态指针入手对量子弱测量放大进行详细的讨论，试图找到满足弱测量放大精确解那一类量子态指针。

1 任意量子态指针的弱测量放大

不失一般性，本文考虑一个标准弱测量方案[1]。在标准弱测量方案中，系统和指针之间的相互作用哈密顿量是

(1)

(2)

(3)

对被测系统执行后选择作用，即对被测系统进行投影测量|ψf〉〈ψf|，指针态变为

(4)

其中系统的后选择态|ψf〉=cosθ|a1〉-eiφsinθ|a2〉。

刘凯玉[27]研究了经过碱化和氨化处理秸秆的奶牛瘤胃NDF降解率，结果表明，碱化秸秆的NDF有效降解率显著高于干秸秆（P＜0.05），而且碱化秸秆的NDF慢速降解部分较氨化秸秆提高了17.25%。Pan等[28]的研究表明，尿素和氢氧化钠处理都会提高秸秆的NDF的有效降解率，但氢氧化钠的作用更明显。华金玲等[29]以成年公羊为基础研究了氨化秸秆各时间段的NDF降解率，试验表明氨化秸秆的NDF降解率显著高于相应时间点的未处理秸秆，NDF的最大降解量提高了22.83%。孙国强等[30]指出，将尿素和氢氧化钙按玉米秸风干质量的4%添加时，72 h NDF瘤胃降解率显著高于未处理玉米秸。

仅考虑这种情况，即χ≪1和φ≪1，以及当θ=π/4-ε(ε≪1)，等式(4)的指针态可以近似为

(5)

指针观察量M(M=p,q)的平均平移被如下表达式给出

〈M〉=Tr(Mρfm)/Tr(ρfm)-Tr(ρm)

(6)

其中Tr(ρfm)表示归一化系数。

将等式(5)代入Tr(Mρfm)，可以获得

Tr(Mρfm)≈[(4ε2+φ2)〈M〉ρm+i2εχ(a2-a1)〈[M,q]〉ρm+φχ(a2-a1)〈{M,q}〉ρm

+χ2(a2-a1)2〈qMq〉ρm]/4

(7)

其中Tr(·ρm)可以用〈·〉ρm表示，[·]和{·}分别表示对易和反对易规则[12-13]，并且归一化系数是

W0=Tr(ρfm)≈[(4ε2+φ2)+2φχ(a2-a1)〈q〉ρm+χ2(a2-a1)2〈q2〉ρm]/4

(8)

将等式(7)和(8)代入(6)，可以获得

+χ2(a2-a1)2〈qMq〉ρm]/4-〈M〉ρm

(9)

等式(9)表示基于后选择弱测量的任意量子态指针的平均平移。

2 偶宇称态指针的弱测量放大

假设指针初始态ρm是偶宇称态，即ρm(-q)=ρm(q)，等式(9)的表达式可以变为

〈M〉=W-1[i2εχ(a2-a1)〈[M,q]〉ρm+φχ(a2-a1)〈{M,q}〉ρm]/4

(10)

其中W=[4ε2+φ2+χ2(a2-a1)2〈q2〉ρm]/4是归一化系数。从等式(10)可以看出，指针的平均平移是由i2εχ(a2-a1)〈[M,q]〉ρm和χ(a2-a1)〉{M,q}〉ρm决定。前者和后者都是由等式(5)指针态的干涉项引起的。换一句话说，理解弱测量放大的关键是后选择测量后不同指针态之间的相干性。

考虑等式(8)的两种情况：一个是，当φ=0和ε≠0时，等式(10)变为

(11)

另一个是，当φ≠0和ε=0时，等式(10)变为

(12)

3 结论

总之，本文利用任意量子态指针研究了弱测量放大效应，并给出基于后选择弱测量的任意量子态指针的平均平移。当指针态是偶宇称态时，在动量空间或者位置空间中，不仅可以给出指针的微弱平均平移的放大解析式，也可以给出其最大放大值。例如，当指针处于基态、相干态、压缩态和热态时，发现指针的微弱平均平移最大放大值可以达到相应的量子态的涨落程度。与大多数标准弱测量放大方案相比[3,7-9,11,14]，这类偶宇称态使得弱测量放大有了精确解，从而更容易找到弱测量放大极限[11,16]。前者是在弱值放大机制(Weak value amplification regime)下给出近似解，而后者是找到一类量子态给出弱测量放大解析解，从而实现在弱值放大机制下和超出弱值放大机制(Outside weak value amplification regime)下观测量子效应。因此这些结果不仅丰富了弱测量理论，也加深了人们对弱测量的理解。