胡江胜，孙丹丹，朱海燕

(1.江苏理工学院 a.数理学院； b.商学院，江苏 常州 213001； 2.浙江工业大学 理学院，杭州 310023)

近世代数又称为抽象代数，作为本科院校数学专业的一门专业必修课，它以研究代数系统的性质与结构为主，是代数几何、代数数论等课程的基础[1-2]。通常，在近世代数教学过程中可以通过两种不同的思路去论证一个命题的成立与否：直接证明其成立性或者举出合适的反例证明该命题不成立。有些命题的直接证明具有一定的难度，但若找出合适的反例则事半功倍。因此，构造合适的反例是近世代数课程教学中的一种重要教学手段和方法，它可以加深学生对抽象代数概念和命题的理解。

1 反例是鉴别假命题的有效方法

近世代数这个严密的系统主要由各种各样的命题组成。命题结论成立的条件和范围是关键所在，但这对学生来说是一大难点，教学过程中经常需要构造相关反例，让学生明确某些概念的重点，澄清其对某些概念不正确的认知，加深对相关知识点的理解。例如，为了让学生更好地理解循环群的性质，可以向学生提出问题：循环群是否在群同态作用下保持[2]。

例1：设群G与群H同态，问G是循环群能否推出H为循环群？反之是否成立。

分析：只需根据循环群的定义验证即可。

(1)先由定义证明，若G为循环群，则H也为循环群。

设φ:G→H为群满同态，群G的生成元为a，取b=φ(a)。容易验证，对任意h∈H，均存在g∈G，使得h=φ(g)=φ(an)=φ(a)n=bn，其中n为整数，所以b=φ(a)为群H的生成元。

(2)再说明若H为循环群，则G不一定是循环群。……