■袁满成

函数中的任意性与存在性问题,是高中数学的重要内容,渗透着化归与转化、数形结合、函数与方程等数学思想,一直是高考命题的热点,也是同学们学习的难点。这类问题既有单一函数的任意性与存在性问题,也有双函数中的任意性与存在性问题,同时变量也涉及单变量与双变量。下面就双函数中的任意性与存在性问题进行探究,意在抛砖引玉。

一、双函数、单变量的任意性与存在性问题

双函数、单变量的任意性与存在性问题,需要优先考虑分离参数法,并转化为最值(或临界值)进行研究,但要注意利用的最值(或临界值)正好是相反的。当分离参数构造所得函数的最值不好求时,可以利用作差、分类讨论的方法进行解决。

例1已知函数f(x)=logax,g(x)=2loga(2x+t-2),其中a＞0且a≠1,t∈R。当0＜a＜1,且x∈时,f(x)≥g(x)恒成立,求实数t的取值范围。

评析:若f(x)≥a或g(x)≤a恒成立,只需满足f(x)min≥a或g(x)max≤a,求出函数f(x)的最小值或函数g(x)的最大值即可解决问题。

例2已知函数h(x)=2x-1,g(x)=m(x2-1),问是否存在实数m,使得不等式h(x)＞g(x)对任意的x∈[-2,2]恒成立。

解:假设存在实数m,使得不等式h(x)＞g(x)对任意的x∈[-2,2]恒成立。令函数f(x)=h(x)-g(x)=2x-1-m(x2-1)=-mx2+2x+m-1,x∈[-2,2],要使不等式h(x)＞g(x)对任意x∈[-2,2]恒成立,即f(x)＞0对x∈[-2,2]恒成立。当m=0 时,f(x)=2x-1,在-2≤x≤上,f(x)≤0,在＜x≤2 上,f(x)＞0,可知不满足题意;当m≠0时,函数f(x)只需满足据此代入化简整理得所以m∈∅。故不存在实数m,使得不等式h(x)＞g(x)对任意的x∈[-2,2]恒成立。

评析:对于不适合分离参数的不等式,常用分类讨论法,结合函数的单调性或最值,求得参数的取值范围。

二、双函数、双变量的任意性与存在性问题

双函数、双变量的任意性与存在性问题,通常是将含有全称量词和存在量词的条件“等价转化”为两个函数值域之间的关系(或两个函数最值之间的关系)进行研究。

例3已知函数f(x)=+x,函数g(x)=ln(x+1)-a,若存在x1,x2∈[0,2],使得f(x1)＞g(x2),求实数a的取值范围。

解:因为f(x),g(x)在[0,2]上都是增函数,所以f(x)的值域A=[0,4],g(x)的值域B=[-a,ln3-a]。若存在x1,x2∈[0,2],使得f(x1)＞g(x2),则f(x)max＞g(x)min,即4＞-a,所以a＞-4。故实数a的取值范围是(-4,+∞)。

评析:对任意的x1∈A,任意的x2∈B,使得f(x1)≤g(x2),则f(x)max≤g(x)min。对任意的x1∈A,存在x2∈B,使得f(x1)≤g(x2),则f(x)max≤g(x)max。对任意的x1∈A,存在x2∈B,使得f(x1)≥g(x2),则f(x)min≥g(x)min。

例4已知函数f(x)=2x+ax2(a＞0),函数g(x)=x2-4x+1。若对任意x1∈[-1,2],总存在x2∈[-1,2],使得f(x1)=g(x2),则实数a的取值范围是____。

解:函数g(x)=x2-4x+1=(x-2)2-3,因为x2∈[-1,2],所以函数g(x)的值域为B=[-3,6]。

任意x1∈[-1,2],总存在x2∈[-1,2],使得f(x1)=g(x2),可设函数f(x)的值域为A。因为B=[-3,6],所以A⊆B。因为2x＞0,ax2≥0,所以f(x)=2x+ax2＞0在[-1,2]上恒成立。因为f(x)在[0,2]上单调递增,所以f(x)的最大值为f(2)=4+4a,所以4+4a≤6,可得a≤。又a＞0,所以实数a的取值范围是。

评析:对任意的x1∈A,存在x2∈B,使得f(x1)=g(x2),则f(x)的值域是g(x)值域的子集,即f(A)⊆g(B)。

1.已知函数f(x)=|ax-1|+|x+1|,g(x)=x+2。若对∀x∈[1,2],不等式f(x)≤g(x)恒成立,求实数a的取值范围。

提示:当x∈[1,2]时,不等式f(x)≤g(x)恒成立,即|ax-1|≤1对∀x∈[1,2]恒成立。当a=0时,显然成立;当a＞0时,由|ax-1|≤1,可得0≤x≤,要使|ax-1|≤1对∀x∈[1,2]恒成立,则≥2,可得a≤1,所以0＜a≤1;当a＜0 时,由|ax-1|≤1,可得≤x≤0,显然对∀x∈[1,2],|ax-1|≤1不成立。综上可得,a的取值范围为[0,1]。

或者,构造函数h(x)=|ax-1|,x∈[1,2],则解得0≤a≤1。故实数a∈[0,1]。

2.已知函数f(x)=ln(x2+1),g(x)=-m,若对∀x1∈[0,3],∃x2∈[1,2],使得f(x1)≥g(x2),则实数m的取值范围是____。

提示:当x∈[0,3]时,f(x)min=f(0)=0,当x∈[1,2]时,g(x)min=g(2)=-m。∀x1∈[0,3],∃x2∈[1,2],使得f(x1)≥g(x2)可等价转化为f(x)min≥g(x)min,所以0≥-m,即m≥,故实数m的取值范围是。

3.已知函数f(x)=x2-2x,g(x)=ax+2(a＞0),对任意的x1∈[-1,2],存在x2∈[-1,2],使得g(x1)=f(x2),则a的取值范围是____。

提示:由x∈[-1,2],f(x)=x2-2x,g(x)=ax+2(a＞0),可得f(x)的值域为[-1,3],g(x)的值域是[-a+2,2a+2]。因为对任意的x1∈[-1,2],存在x2∈[-1,2],使得g(x1)=f(x2),所以f(x)的值域包含g(x)的值域,即[-a+2,2a+2]⊆[-1,3],则-1≤-a+2＜2a+2≤3,解得0＜a≤,即a∈。