■刘中亮

一、选择题

1.集合{1,2,3}的真子集有( )。

A.4个 B.6个

C.7个 D.8个

2.已知全集为实数集R,集合A={x|x2+2x-8＞0},B={x|log2x＜1},则(∁RA)∩B等于( )。

A.[-4,2] B.[-4,2)

C.(-4,2) D.(0,2)

3.如果a＜b＜0,那么下列不等式成立的是( )。

4.已知偶函数g(x)在(0,+∞)上是增函数,若a=g(-log25.1),b=g(20.8),c=g(3),则a,b,c的大小关系为( )。

A.a＜b＜cB.c＜b＜a

C.b＜a＜cD.b＜c＜a

5.函数f(x)=+cos2x图像的一条对称轴方程是( )。

6.已知函数f(x)=sinωx(ω＞0)在区间上单调递增,在区间上单调递减,则ω=( )。

7.已知命题p:-1＜x＜2,q:|x-1|＜1,则p是q的( )。

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

8.函数y=的单调递减区间为( )。

A.(-∞,2] B.[1,2]

C.[2,+∞) D.[2,3]

9.函数f(x)=图像的大致形状是( )。

10.已知分段函数f(x)=若互不相等的实数x1,x2,x3满足f(x1)=f(x2)=f(x3),则x1+x2+x3的取值范围是( )。

11.已知函数f(x)=x(x+1)(x2+ax+b)的图像关于直线x=1对称,则f(x)的值域为( )。

12.(多选题)下列是“不等式2x2-5x-3＜0成立”的必要不充分条件的是( )。

13.(多选题)函数在下列那些区间上单调递增( )。

A.(-∞,-1) B.(-∞,1)

C.(1,+∞) D.(-∞,0)

14.(多选题)若正实数a,b满足a+b=1,则下列说法正确的是( )。

15.(多选题)若a,b,c∈R,a＜b＜0,则下列不等式正确的是( )。

16.(多选题)在△ABC中,下列关系恒成立的是( )。

17.(多选题)《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题,这种方法是西方数学家处理问题的重要依据,通过这一原理,很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明,也称之为无字证明。现有图形如图1所示,C为线段AB上的点,且AC=a,BC=b,O为AB的中点,以AB为直径作半圆。过点C作AB的垂线交半圆于D,连接OD,AD,BD,过点C作OD的垂线,垂足为E。则该图形可以完成的所有的无字证明为( )。

图1

二、填空题

18.已知集合A={1,a+b,a},集合B=,且A=B,则a-b=____。

19.若x＞0,y＞0,且3x+4y-2xy=0,则x+y的最小值为____。

20.已知定义在R 上的奇函数f(x)=则f(-1)=_____,不等式f[f(x)]≤7的解集为_____。

21.给出下列四个命题:①函数f(x)=的对称轴为x=,k∈Z;②函数f(x)=sinx+的最大值为2;③∀x∈(0,π),sinx＞cosx;④函数f(x)=在区间上单调递增。

其中正确命题的序号为_____。

三、解答题

22.已知全集U=R,集合A={x||2xa|≥2},集合B=。在①A⊃B,②A∩B≠∅,③A∪(∁UB)=A中任选一个为条件,求实数a的取值范围。

23.已知集合A={x|-1＜x＜3},集合B={x|2x2+(5-2k)x-5k＜0},k∈R。

若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件,求实数k的取值范围。

24.已知命题p:x2-8x+15≤0,q:x2-2x+1-a2≤0(a＞0)。

若p为q成立的充分不必要条件,求实数a的取值范围。

25.已知定义域为R 的奇函数f(x)=。

(1)求a,b的值。

(2)若对任意的t∈R,不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)＜0 恒成立,求实数k的取值范围。

26.已知函数f(x)=lg(2+x)+lg(2-x)。

(1)记函数g(x)=10f(x)+3x,求函数g(x)的值域。

(2)若对任意m∈(0,2),x∈[0,1],都有f(x)＜m2-m-lg25+a恒成立,求实数a的取值范围。

27.已知函数f(x)=sin2x-cos2x-)。

(2)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间。

28.为了加强“平安校园”建设,有效遏制涉校案件的发生,保障师生安全,某校决定在学校门口利用一侧原有墙体,建造一间墙高为3m,底面为24m2,且背面靠墙的长方体形状的校园警务室。由于此警务室的后背靠墙,无需建造费用,甲工程队给出的报价为:屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元,左右两面新建墙体报价为每平方米300元,屋顶和地面以及其他报价共计14400元。设屋子的左右两面墙的长度均为xm(1≤x≤5)。

(1)当左右两面墙的长度为多少时,甲工程队报价最低?求出最低报价。

(2)现有乙工程队也要参与此警务室的建造竞标,其给出的整体报价为元(a＞0),若无论左右两面墙的长度为多少米,乙工程队都能竞标成功,试求a的取值范围。

29.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ),其中A＞0,ω＞0,0＜φ＜π,函数f(x)图像上相邻两个对称中心之间的距离为,且在x=处取得最小值-2。

(1)求函数f(x)的解析式。

(2)若将函数f(x)图像上所有点的横坐标伸长到原来的2 倍(纵坐标不变),再将其向左平移个单位,得到函数g(x)图像,求函数g(x)的单调递增区间。

30.已知a∈R,函数f(x)=。

(1)当a=4时,解不等式f(x)＞0。

(2)若关于x的方程f(x)-log2[(a-4)x+2a-5]=0有两个不相等的实根,求a的取值范围。

一、选择题

1.提示:集合{1,2,3}的元素个数为3,故真子集的个数为23-1=7。应选C。

2.提示:由A={x|x＜-4 或x＞2},B={x|0＜x＜2},可得∁RA={x|-4≤x≤2},所以(∁RA)∩B=(0,2)。应选D。

3.提示:对于A,因为a＜b＜0,两边同乘以,所以,A 错误。对于B,因为,两边同乘以-1,所以,B正确。对于C,a＜b＜0,两边同乘以a,所以ab＜a2,C 错误。对于D,a＜b＜0,两边同乘以b,所以b2＜ab,D 错误。应选B。

4.提示:由题意知g(x)为偶函数,且在(0,+∞)上单调递增,所以a=g(-log25.1)=g(log25.1)。又2=log24＜log25.1＜log28=3,1＜20.8＜2,所以20.8＜log25.1＜3,故b＜a＜c。应选C。

7.提示:p:-1＜x＜2。q:|x-1|＜1⇔q:-1＜x-1＜1⇔q:0＜x＜2。由上可得,p⇒/q,q⇒p,所以p是q的必要不充分条件。应选B。

8.提示:由-x2+4x-3≥0,即(x-1)·(x-3)≤0,可得函数的定义域为[1,3]。由y=2t在R 上单调递增,t=在[1,2]上单调递增,在[2,3]上单调递减,可得y=的单调递减区间为[2,3]。应选D。

9.提示:函数f(x)=0＜a＜1。由f(x)=得f(-x)=-f(x),所以f(x)是奇函数,其图像关于原点对称,排除B,D。当x＞0时,f(x)=logax(0＜a＜1)是单调递减函数,排除A。应选C。

10.提示:画出分段函数f(x)=的图像(如图2)。

图2

不妨设x1＜x2＜x3,则x2,x3关于直线x=3 对称,故x2+x3=6。x1是图中线段AB上的点对应的横坐标,则xB＜x1＜xA,可得,故x1+x2+x3的取值范围是+6＜x1+x2+x3＜6,即x1+x2+。应选D。

11.提示:因为f(x)=x(x+1)(x2+ax+b)有两个零点-1,0,又其图像关于直线x=1对称,所以2,3也是函数f(x)的两个零点,即f(x)=x(x+1)(x-2)(x-3),所以f(x)=(x2-2x)(x2-2x-3)。令t=x2-2x=(x-1)2-1≥-1,则y=t(t-3)=t2-3t=,所以y≥,即函数f(x)的值域为。应选B。

13.提示:令t=x2-2x+3,则函数t在(-∞,1)上递减,在(1,+∞)上递增。又y=在R 上递减,所以函数在(-∞,1)上递增,在(1,+∞)上递减。应选A,B,D。

15.提示:对于A,由a＜b＜0,可得0＞,A 不正确。对于B,由a＜b＜0,可得ab＞b2,B正确。对于C,当c=0时,a|c|=b|c|,当c≠0时,a|c|＜b|c|,C 不正确。对于D,由c2+1＞0,a＜b＜0,可得a(c2+1)＜b(c2+1),D 正确。应选B,D。

16.提示:tan(A+B)=tan(π-C)=-tanC,A 不正确。cos(2A+2B)=cos[2(π-C)]=cos(-2C)=cos2C,B 正确。,C 不正确。,D正确。应选B,D。

17.提示:由题意得AC+CB=a+b。由射影定理可知CD=。由OD≥CD,可得,A 正确。由射影定理可知CD2=DE·OD,即DE=,由CD≥DE,可得,C 正确。应选A,C。

二、填空题

18.提示:因为集合A={1,a+b,a},集合B=,且A=B,所以1∈B,0∈A,且a≠0,所以a+b=0,b=1,可得a=-1,所以a-b=-2。

20.提示:函数f(x)=是定义在R 上的奇函数,当x＜0时,-x＞0,则g(x)=f(x)=-f(-x)=-(1-2-x)=2-x-1,所以f(x)=可得f(-1)=2-1=1。

因为函数f(x)=在[0,+∞)和(-∞,0)上都单调递减,且函数f(x)的图像没有断开,所以函数f(x)=在R 上单调递减。由不等式f[f(x)]≤7=f(-3),可得f(x)≥-3,所以,解得x≤2,即不等式f[f(x)]≤7 的解集为(-∞,2]。

三、解答题

22.提示:由集合A={x||2x-a|≥2},可得。易得集合B={x|1＜x＜3},所以∁UB={x|x≤1或x≥3}。

①由A⊃B,可得-1≥3或+1≤1,解得a≥8 或a≤0,所以a的取值范围是(-∞,0]∪[8,+∞)。

②由A∩B≠∅,可得-1＞1或+1＜3,解得a＞4或a＜4,所以a的取值范围是(-∞,4)∪(4,+∞)。

③由∁UB={x|x≤1 或x≥3},A∪(∁UB)=A,可知 ∁U B⊆A,所以解得a=4,即a的取值范围是{4}。

23.提示:“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件,则集合A是集合B的真子集。

由2x2+(5-2k)x-5k＜0,可得(xk)(2x+5)＜0,当k＜时,B=,不合题意;当k=时,B=∅,不合题意;当k＞时,B=,只需满足k≥3。

故实数k的取值范围是[3,+∞)。

24.提示:由x2-2x+1-a2≤0(a＞0),可得1-a≤x≤1+a。由x2-8x+15≤0,可得3≤x≤5。

因为p为q成立的充分不必要条件,所以解得a≥4,即实数a的取值范围是[4,+∞)。

25.提示:(1)因为f(x)是R 上的奇函数,所以f(0)=0,即=0,解得b=1,这时f(x)=。由f(1)=-f(-1),可得,解得a=2,所以函数f(x)=。故a=2,b=1。

(2)由(1)得f(x)=,且f(x)在R 上为减函数。

因为f(x)是奇函数,所以f(t2-2t)＜-f(2t2-k)=f(-2t2+k)。又因为f(x)是R上的减函数,所以t2-2t＞-2t2+k,即对一切t∈R都有3t2-2t-k＞0,所以Δ=4+12k＜0,解得k＜,即实数。

26.提示:(1)由f(x)=lg(2+x)+lg(2-x)=lg(4-x2),x∈(-2,2),可得函数g(x)=10f(x)+3x=4-x2+3x,x∈(-2,2),可知g(x)的对称轴为x=。

当x∈时,函数g(x)单调递增,当x∈时,函数g(x)单调递减,所以g(x)max=。又g(-2)=-6,g(2)=6,故函数g(x)的值域为。

(2)对任意m∈(0,2),x∈[0,1],都有f(x)＜m2-m-lg25+a恒成立,即f(x)max＜m2-m-lg25+a恒成立。当x∈[0,1]时,函数f(x)=lg(4-x2)单调递减,f(x)max=f(0)=2lg2,所以2lg2＜m2-m-lg25+a恒成立,即a＞-m2+m+2恒成立,所以a＞(-m2+m+2)max,m∈(0,2)。当m=时,(-m2+m+2)max=,所以a＞,即实数a∈。

故当左右两侧墙的长度为4m 时,甲工程队的报价最低,最低报价为28800元。

故0＜a＜12,即a∈(0,12)。

29.提示:(1)由题意得f(x)的最小正周期为,解得ω=4。由函数f(x)在处取得最小值-2,可得A=2,这时f(x)=2sin(4x+φ)。由=-2,可得,k∈Z。令k=0,可得φ=,所以函数f(x)=。

(2)由函数f(x)=图像上所有点的横坐标伸长到原来的2 倍(纵坐标不变),可得y=,再向左平移个单位得函数g(x)==2cos2x。令-π+2kπ≤2x≤2kπ,k∈Z,可得g(x)的单调递增区间为,k∈Z。

30.提示:(1)当a=4 时,函数f(x)=。由f(x)＞0,可得＞0=log21,所以+4＞1,即x(1+3x)＞0,解得x＞0或x＜。故当a=4 时,不等式f(x)＞0 的解集为。

(2)由题意得方程f(x)==log2[(a-4)x+2a-5],该方程等价于由此化简整理得(a-4)x2+(a-5)x-1=,所以[(a-4)x-1](x+1)=。

当a=4时,x=-1,不合题意,舍去;当a=3 时,x1=x2=-1,不合题意,舍去;当a≠3且a≠4时,x1=,x2=-1且x1≠x2,由+a＞0,即a-4+a＞0 得a＞2(a≠3且a≠4),由+a＞0,即-1+a＞0得a＞1(a≠3且a≠4)。

依题意知,若原方程由两个不相等的实根,则a＞2(a≠3且a≠4),故所求a的取值范围为a∈(2,3)∪(3,4)∪(4,+∞)。