江苏省泰州市第二中学附属初中 (225300) 王红梅

直角三角形是最为常见的几何图形，它的好多特有性质有着广泛的应用.有些代数问题，若能依据条件或结论提供的信息，恰当地构造出符合题意的直角三角形“模型”，则不仅可以获得一个新颖、奇妙的解题方法，而且能够激发学习兴趣，培养求异和创新思维能力.本文主要介绍如何构造直角三角形求最大值和最小值，供中学师生教学参考.

一、最大值问题

本题难度较大，用一般方法不易求解，且过程十分繁琐.于是考虑构造直角三角形将数转化为形求解.

图1

分析：先将x2+8x+25配方得(x+4)2+32，再根据根号下两数的平方和，联想到勾股定理构造直角三角形结合三角形中两边之差小于第三边求解.

图2

图3

二、最小值问题

分析：根号下是两数的平方和，联想到勾股定理，构造直角三角形，根据“两点之间，线段最短”，确定其最小值，再根据相似三角形的性质确定x的值.

图4

分析：若直接求解，比较困难，但注意到所求式子的特点，则可构造直角三角形求解，就容易多了.

图5

图6

图7

图8

综上所述可知，构造直角三角形求代数式的最大值和最小值问题，其关键在于要从问题的背景出发，根据题设的结构特征，构造出相应的图形求解，有助于培养逻辑推理和直观想象能力.这种数形结合的方法，充分体现了数学的和谐美，实现了抽象思维与形象思维之间的转换，符合新课程改革的理念要求，对于启迪学生思维，开拓学生视……