陈操

【摘   要】“排列”与“组合”有很多相似之处，学生对这两者经常混淆不清。以人教版教材二年级上册“数学广角——搭配（一）”中的例2为例，对“排列”与“组合”两种方法的内涵与结构进行分析，提出了“起点分析，寻找知识连接点”“题组对比，揭示概念本质”“优化材料，促进深度学习”这三条教学策略，引导学生通过沟通建立知识联系，通过对比感悟数学思想。

【关键词】数学广角;搭配;对比;沟通

人教版教材以独立的板块开辟“数学广角”，渗透数学思想方法。二年级上册“搭配（一）”是“数学广角”这一板块的重要组成部分。教材围绕“搭配”安排了两个课时的内容，第一课时渗透排列的思想，第二课时渗透组合的思想。“排列”与“组合”有很多相似之处，学生对这两者经常混淆不清。教学时可以让学生通过沟通建立知识联系，通过对比感悟数学思想。

一、起点分析，寻找知识连接点

学习是新旧知识之间相互迭代和链接的过程，因此，教学要关注学生的学习起点，从起点出发，抓住新旧知识之间的关联点，把新知纳入到学生原有的认知结构中，进行同化和顺应。排列与组合的教学也是如此。

（一）起点分析

1.逻辑起点

基于教材知识体系和学生成长规律进行教学的逻辑起点分析。从解决问题的方法上看，学生在前面的学习中已经掌握了“固定十位法”“固定个位法”“调换位置法”等方法，对于排列与组合的问题，应该能够独立解决，找到答案。从思维方式上看，学生经历了“有序”“全面”“组合（配对）”等思考问题方式的“训练”，已经拥有理解排列与组合问题的思维基础。从学习经验上看，学生有过解决组合问题的经验，如在解决人教版一年级下册“认识图形（二）例3”时，学生首先思考拼三角形需要用到几块图形，然后运用分类思考的方法，考虑可以2块组合拼、3块组合拼、4块组合拼等。

2.现实起点

基于对学生实际和潜在经验的现实起点进行分析，教师做了课前调研，请学生独立解决问题“有2、3、4三个数字，任意选取其中两个组成两位数，能组成几个不同的两位数”。学生解答的正确率达到了93.3%，多数答案不但正确且有序，答案正确但排列无序的仅占2.2%。解答时多数学生使用了“固定十位法”和“调换位置法”，用“固定十位法”的学生占66.7%，用“调换位置法”的学生占22.2%。

从数据分析可以看出，学生对于“固定十位法”掌握得比较好，运用“调换位置法”的人比较少。测试后，教师又对部分学生进行了访谈，请学生说说“你是怎么想的”。从学生的回答中可以看出，多数学生已经有了有序思考的经验基础。

（二）基于起点分析引入教学

组合问题主要表现为分类计数、有序但不排序，“分类思想”是解决组合问题的核心。学生虽然有了有序思考的经验基础，但尚未形成分类计数的思想。基于对学生起点的分析，将新课导入环节展开如下。

【片段1】经验复习，引入新课

出示问题：有三个数分别是3、5、7，任意选取其中两个组成没有重复数字的两位数，能组成几个？

学生独立解答后进行交流。教师将学生的答案分成左右两列写在黑板上。左边一列是35、37、53、57、73、75;右边一列是35、53、37、73、57、75。

师：认真观察，这两组答案正确吗？分别用了什么方法解决问题？

生：两组都是正确的。左边用了“固定十位法”，右边用了“调换位置法”。

师：运用这些方法写有什么好处呢？

生：可以做到有顺序、不遗漏、不重复。

师：在“固定十位法”“调换位置法”中，也隐藏着分类写的方法。你能看出来吗？

生：用“固定十位法”写，其实就是按十位是3、5、7分类写。

生：运用“调换位置法”时，选3、5一类可以组成35和53;选3、7一类，可以组成37和73;选5、7一类，可以组成57和75。

（教师根据学生的回答在板书上圈出相应的部分）

师：刚才，我们运用“固定十位法”“调换位置法”以及分类思考的方法解决了问题。这节课将运用我们已有的知识，继续研究新的问题。

通过复习，学生梳理了有序思考问题的方法。在圈一圈中感受“固定十位法”是按十位是3、5、7分类;“调换位置法”是按3、5组队分类，3、7组队分类和5、7组队分类。在复习引入中，教师通过“圈一圈”，在分类与有序思考之间建立了内在的联系，为新授“组合”的教学埋下了伏笔。

二、题组对比，揭示概念本质

“排列”与“组合”是两个比较抽象的概念。排列是指从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列;组合是指从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素并成一组。“排列”与“组合”是两个邻近概念，它们之间既有联系又有区别。排列与组合都是从一定数量的元素里取出若干个元素;但排列与元素的顺序有关，组合与元素的顺序无关。基于对“排列”与“组合”概念的解读，教学中要抓住概念本质，采用题组对比的教学方式，帮助学生了解概念之间的联系和区别，以便学生理解、掌握排列与组合的基本思想方法。

（一）借助对比，揭示本质

从前一节课的“排列”到本节课的“组合”，从原本三个数中任选两个数进行排序，到从三个数中任选两个数组合而不用排序，学生的认知要经历转变的过程，而转变原有的认知结构正是本节课教学的难点。新知教学时可以采用新舊对比的教学方式，以突破难点，帮助学生正确理解概念的本质。

【片段2】探究新知，初步感知“组合”的思想

教师出示改编后的题目：有三个数分别是3、5、7，任意选择其中两个数求和，一共有多少种可能？

师：想一想，这一题与前面一题有什么相同和不同的地方？并把结果写下来。

（学生完成后反馈交流）

生：3和5组成两位数时，35和53属于两个不同的数;3和5组在一起算和时，3+5和5+3的和都是8，只能算一种……

生：“组成两位数”的两个数字可以交换位置，和不变。

生：我发现“组成两位数”要排顺序，“求和”不用排顺序。

根据学生的回答，教师在板书上进行圈、删（如图1）。

通过两道题目的对比学生发现，排列与组合在选择数字时有相同之处，都可以先用“组队”的方式将数字分组：3、5;3、7;5、7。不同点是，“组数”（排列）时两个数交换位置可以得到不同的数;“求和”（组合）时两个数交换位置和一样，只能算一种情况。学生在异同点对比中初步感悟组合的基本思想。

（二）对比练习，沟通联系

“排列”与“组合”属于高中数学课程中的内容，本节课的教学目的不是让学生一定要明确区分什么是排列，什么是组合，而是引导学生通过对现实生活的具体情境进行分析，体会哪些情况下要考虑事物的先后顺序，哪些情况下不用考虑事物的先后顺序。引导学生在“数学化”的思考过程中感悟排列与组合的思想，建立排列与组合之间的联系，让学生在结合经验解决类似问题时，通过类比融通形成解决问题的思维结构。

【片段3】对比练习，勾连排列与组合

师：二年级某班在竞选班长时遇到了难题，聪明的同学们愿意帮忙吗？

教师出示改编后的教材习题：三个人竞选正、副班长，会有几种可能？竞选结束了，每两个人握一次手，三个人一共握了几次手？

生：选班长有6种可能，握手只有3种情况。

师：为什么两个答案不一样？

生：因为选班长，一个正一个副，也可以换过来一个副一个正，而握手两个人换过来握，你跟我握手和我跟你握手，算同一次握手。

（教师请学生上讲台演示）

师：从刚才的演示中我们发现，选班长，从三个人中选出两个人要按正、副班长排顺序，而从三个人中选两个人握手，这两个人选出后不用排序。

师：这两道题与前面的题目有什么相同和不同之处呢？

生：这两题中是三个人，上面两题中是三个数字。

生：三个学生可以看成三个数，我用1、2、3表示三个学生，按第一个是正班长、第二个是副班长的顺序排列，可以有“12，13;21，23;31，32”一共6种情况。握手时，只有“1、2握，1、3握，2、3握”这3种情况。这和前面一组题的区别是一样的。

“排列”与“组合”是两个不同的概念。教师通过创设情境，让学生体验排序与不排序的差别，区分排列与组合的方法。通过前后两组题的对比，学生发现第一组题从数字入手，第二组题从生活情境入手，两组题之间具有相似性与共通性，形成了解决排列与组合问题的思维结构。

三、优化材料，促进深度学习

学习材料在学生数学学习中起着重要的作用。好的学习材料能帮助学生加深对知识的感知、理解、分析和整合，是学生获得知识、解决问题、培养思维、提升数学能力的有效载体。学习材料包括学习用书、课程资源、操作材料、习题等等。优化材料的选择、组织和呈现方式，能帮助学生架起已有知识与新知之间的桥梁。

（一）优化材料的选择与组织

教学中选择不同的学习材料，或者同一个材料采用不同的组织方式，会对学生的学习兴趣、知识理解以及学习过程和结果产生不同的影响。优化习题材料的选择与组织方式有很多种。如教师可以以例题为基础优化习题，适当拓展例题的内容，以激发学生深度探究的热情。教学中教师出示用例题改编的习题：有三个数，分别是0、5、7，任意选取其中的两个数组成没有重复数字的两位数，能组成几个两位数？有的学生通过一一枚举的方式写出6个;有的学生直接将0画去，写出57、75两个数，理由是0不能用来组数;有的学生写出6个数后，画去了05、07两个数;有的学生直接写出4个数，理由是三个数选两个是6种可能，但因为0不能在首位，所以要减去两个数。针对以上的反馈情况，教师引导学生展开讨论。通过辨析交流，学生发现0是一个特殊的数字，组数的时候它不能放在首位，所以一共是4种可能。教师虽然只是将例题中的一个数字改成了0，但却拓展了思维的宽度。学生在运用排列与组合思想的同时，也巩固了关于0占位的知识。

（二）优化材料的呈现方式

“学习的最好刺激乃是对所学习材料的兴趣。”材料的呈现方式有文字、表格、图片等。同一个学习材料以不同的方式呈现，得到的效果会不一样。

如教师在试教时出示如下习题：“有红色、绿色、白色三张纸条，长度分别是4厘米、6厘米、8厘米，任意选其中的两张拼成一张新的纸条，有哪些不同的拼法？可以拼成哪些不同的长度？”在解答“有哪些不同的拼法”时，很多学生得出错误答案3种。经了解得知，学生把“不同拼法”和“不同长度”混为一谈了。由此可知，学生在读题时关注更多的是阿拉伯数字，对于隐藏着的颜色信息不容易获取。所以，在第二次教学中教师对材料进行了修改：将红色、绿色、白色纸条用图片的方式呈现，并给学生提供实物材料，让学生摆一摆、拼一拼。结果显示，学生答题的准确率大大提高。因此，选择材料的呈现方式时，应考虑学生的认知规律和学习特点，这样才能有效达成教学目标。

参考文献：

[1]蒋碧云.基于“数学理解层次”的教学路径探索：思维可视化的另一种打开方式[J]. 上海教育科研，2019（2）.

[2]米山國藏.数学的精神、思想和方法[M].毛正中，吴素华，译.成都：四川教育出版社，1986.

[3]曹培英.“数学广角”教学的系列研究（二）[J].小学数学教育，2017（3）.

（浙江省杭州市余杭区良渚第二小学   311113）