何毅，陈梦若，杨占英

（中南民族大学 数学与统计学学院，武汉 430074）

1 相关介绍

考虑以下分数阶薛定谔方程：

其中m>0，N>2s，(-Δ)s，s∈(0，1)是分数阶拉普拉斯算子，f：R→R是连续函数.为了找到正解，假设当t<0时，f(t)=0.此外，需要以下条件：

注意到，对于s=1的情形，条件（f1）-（f3）最早是由文献［1］引入的.这些假设可以看作是由著名的Berestycki-Lions型条件［2-3］到具有临界增长的分数阶薛定谔方程的推广.

方程（1）是许多物理现象的模型，例如相变、守恒定律，特别是分数阶量子力学等［4］.方程（1）由文献［5-6］提出，是经典非线性薛定谔方程s=1的推广，其中量子路径的布朗运动被Levy扩散过程替代.更多的物理背景参考文献［7］.

近年来，分数阶薛定谔方程的研究吸引了众多数学家的广泛关注.文献［8-10］研究了分数阶薛定谔方程的自由边界问题，得到了一些正则性估计.文献［11-12］研究了全空间中分数阶薛定谔方程解的存在性、唯一性、对称性、正则性、极大值原理和定性性质.

注意到在条件（f1）~（f3）下，没有关于分数阶薛定谔方程正基态解存在性的结果.

为了处理非局部问题（1），本文利用文献［13］的延拓方法研究相应的延拓问题：

对应的泛函为：

受文献［14］的启发，将一般极小极大原理（文献［15］的定理2.8）应用于复合泛函：

构造有界的(PS)cm序列且当n→∞时，有Pm(ωn)→0，其中cm是泛函Im的山路值，并且Pm(ω)=0是方程（2）的Pohozaev恒等式.运用标准的集中紧的讨论，得到方程（2）基态解的存在性.

2 预备知识

分数阶Sobolev空间Hs(RN)定义为：

对于N>2s，从文献［17］的引理1可以知道：对于连续地嵌入到Lp(RN)中.

算子(-Δ)s(00}中通过Dirichlet-Neumann映射将方程（1）转化为一个局部问题.对于u∈Ds(RN)，问题

的解ω∈X()称为u的……