李庆龙， 曾雪迎

(中国海洋大学数学科学学院， 山东 青岛 266100)

稀疏恢复在信号和图像处理、机器学习等许多领域中都得到了广泛的关注。基于部分傅里叶系数恢复原始信号是稀疏恢复中的一类重要问题，在压缩感知、磁共振成像等领域中具有重要的应用价值[1]。该问题需要寻找一个可以在傅里叶变换域内拟合采样不足的傅里叶系数的信号。稀疏恢复是典型的不适定反问题。数据可稀疏逼近使得从部分傅里叶系数中恢复原始信号成为可能[2]。该问题可以建模为L0模最优化问题，但它是一个非凸不连续的NP难问题，模型的理论分析和数值求解均非常困难。在不增加测量数据的情形下，已有文献的解决方案通常是将L0模松弛为L1模[2-4]或其它非凸但连续的稀疏性度量函数[5]。

虽然L1模对应的凸优化问题具有快速算法[6-7],但其会在恢复信号中引入偏差，因此通常不能取得令人满意的恢复效果。对于低维问题，增加观测傅里叶系数的数量可以带来更准确的解决方案，但它耗时且耗力，而且高维问题将会挑战设备硬件采样和存储的时间和物理成本，特别是在诸如磁共振成像等具体应用背景中代价较大。将L0模松弛为非凸连续函数的方法虽然取得了很好的效果，但其适用范围相对有限，目前主要用于求解稀疏信号的变换域系数，一般不能在信号域直接解决问题。

已有文献在构造数据稀疏变换方面做了大量的工作。根据文献[8-10]的结果, 一般认为冗余表示系统对数据进行稀疏表示有很好的效果。……