尹力，王文龙

摘要：构建一类合成毒品滥用者接受治疗前后的传染性模型.研究表明：当R0<1时，时滞τ不影响无合成毒品滥用平衡点E0的稳定性;当R0>1时，合成毒品传播平衡点E*产生纯虚根条件.数值模拟验证了此结论.

关键词：合成毒品;时滞;稳定性;纯虚根

[中图分类号]O175[文献标志码]A

Dynamic Analysis of a Class of Synthetic Drug Propagation Model

YIN Li，WANG Wenlong

（College of Science，Northeast Forestry University，Harbin 150000，China）

Abstract：To model a class of synthetic drug abusers as infectious before and after treatment，Studies have shown that whenR0<1，the time delay τ does not affect the stability of equilibrium point E0 without synthetic drug abuse，and whenR0>1，the conditions for the production of pure imaginary roots of equilibrium point E* with synthetic drug propagation，The results are verified by numerical simulation.

Key words： synthetic drug;delay;stability;pure virtual root

毒品濫用状况直接损害人类的身心健康.[1]自20世纪以来，国际上的毒品滥用状况日渐严重，合成毒品逐渐渗入我国.[2]许多学者对传统麻醉毒品模型的稳定性进行了研究.2007年，White及Comiskey[3]建立了海洛因上瘾传染病模型.2011年，Samanta[4]等人建立了分布时滞的毒品模型.2013年，张玲和夏米西努尔[5]建立了随机海洛因毒品传播模型.2017年，李玉基和徐瑞[6]研究了一类具有分布时滞和饱和发生率的海洛因毒品传播模型.刘朋燕[7]探究了一类考虑复吸的合成毒品传播模型.

本文假设处于戒毒治疗阶段的合成毒品滥用者对易感者不具有传染性，有吸毒史的易感者只有与合成毒品滥用者接触才会发生复吸现象.为探究时间因素对复吸的影响，文中考虑接受治疗合成毒品滥用者转化成没有接受治疗合成毒品滥用者所需的时间，对刘朋燕[7]的模型添加时滞τ，得到如下模型：

S·=Λ-β1SI-μS

Q·=εI+δR-μQ-β2QI

I·=β1SI+β2QI+σR（t-τ）-b1I

R·=γI-b2R.（1）

其中，b1=ε+γ+μ，b2=δ+σ+μ.本文将分析转化时间τ对系统的影响.

1平衡点的存在性

定义基本再生数为R0=b2β1Λμ（b1b2-γσ），则系统（1）始终存在无合成毒品滥用平衡点

E0=Λμ，0，0，0;若R0>1，系统（1）存在合成毒品传播平衡点

E*=（S*，Q*，I*，R*）

其中，S*=Λβ1I*+μ，Q*=b2ε+δγb2（μ+β2I*）I*，R*=γb2I*，I*是存在且唯一的.

2平衡点稳定性分析

2.1系统（1）在平衡点E0=Λμ，0，0，0的稳定性

系统（1）在E0处线性化系统的特征方程为

（λ+μ）2λ2+b1+b2-β1Λμλ+b1b2-β1Λμb2-γσe-λτ=0.（2）

定理1如果R0<1，则对任意的τ≥0，系统（1）的平衡点E0=Λμ，0，0，0渐近稳定.

证明将λ=iω0（ω0>0）代入特征方程（2）中解得：

ω0=12-β1Λμ-b12+b22+β1Λμ-b12+b222-4b1b2-β1Λμb22-γ2σ212

如果R0<1，则b1b2-β1Λμb2>γσ，从而特征方程（2）无纯虚根，由参考文献[8]可知，当τ≥0时，方程（2）所有的根都具有负实部，即平衡点E0渐近稳定，证毕.

2.2系统（1）在平衡点E*=（S*，Q*，I*，R*）的稳定性

系统（1）在E*处线性化系统的特征方程为：

λ4+d3λ3+d2λ2+d1λ+d0+d4e-λτ=0.（3）

其中，A11=γσ，A12=γσA+γσB，A13=γσAB，A=β1I*+μ，B=μ+β2I*，C=β2I*γδ，

D=β2I*εb2，d0=ABb2b1-b2β1ΛB-2AC-2AD+Aβ2I*（C+D）B+β21I*ΛBb2A，

d1=Ab2b1-β1Λb2-A（C+D）B+ABb2+ABb1-β1ΛB-A（C+D）b2+Aβ2I*（C+D）b2B-Aβ2I*ε-

Bb2b1-β1ΛBb2A-2C-2D+β2I*（C+D）B+β21I*ΛBA+β21I*Λb2A，

d2=Ab2+Ab1-β1Λ-A（C+D）b2B+AB+b2b1-β1Λb2A-C+DB+Bb2+Bb1-β1ΛBA-C+Db2+

β2I*（C+D）b2B-β2I*ε+β22I*ΛA，

d3=A+B-C+Db2B-β1ΛA+b2+b1，

d4=-A11λ2+A12λ+A13.

将λ=iω0（ω0>0）代入特征方程（3）中：

Z4+f3X3+f2Z2+f1Z+f0=0.（4）

其中，Z=ω20;f3=d23-2d2;f2=d22+2d0-2d1d3-A211;f1=d21-2d0d2-A212+2A11A13;

f0=d20-A213.

运用四次方程式的零点分布理论，得到以下结论：

引理1如果f0<0，则方程（4）至少有一个正根.

证明设F（Z）=Z4+f3Z3+f2Z2+f1Z+f0，f（0）=f0<0，并且limZ→∞f（Z）=∞，所以，存在Z0∈（0，∞），使得F（Z0）=0.

证毕.

引理2[9]假设f0≥0，

（1）如果G≥0，则方程（4）有正根，当且仅当Z1>0且F（Z1）<0;

（2）如果G<0，则方程（4）有正根，当且仅当至少存在一个Z*∈Z1，Z2，Z3，使Z*>0且F（Z*）≤0.

定理2（1）若R0>1且满足引理1或引理2，则

a.当τ=τj时，特征方程（3）存在一对纯虚根±iω0，其中

τ0=1ω0arcsinA12ω0ω40-d2ω20+d0-d1ω0-d3ω30A13-A11ω20A212ω20+A11ω20+A132，

τj=1ω0ω0τ0+2jπ，j=1，2….

b.当τ∈0，τ0时，系统（1）的平衡点E*（S*，Q*，I*，R*）局部渐近稳定.

（2）如果不满足引理1和引理2，那么方程（3）所有的根，当τ≥0都具有负实部，平衡点E*（S*，Q*，I*，R*）全局渐近稳定.

证明（1）a.由引理1和2可知，方程（3）至少存在一个正实根，那么对于方程（4）来说，当F（Z0）≠0时，存在正根ω0=Z使得方程（3）有一对纯虚根±iω0，得到时滞临界点

τ0=1ω0arcsinA12ω0ω40-d2ω20+d0-d1ω0-d3ω30A13-A11ω20A212ω20+A11ω20+A132，

τj=1ω0ω0τ0+2jπ，j=1，2….

b.若假设成立，当τ∈0，τ0，满足引理1和引理2中的任意一个条件时，方程（4）有正实根，从而方程（3）有一对纯虚根，平衡点E*（S*，Q*，I*，R*）局部渐近稳定.

（2）如果不满足引理1和引理2的条件，由参考文献[9]的定理2.3可知，当τ≥0，方程（3）都具有负实部，平衡点E*（S*，Q*，I*，R*）全局渐近稳定.

证毕.

3数值模拟给出模型（1）的数值模拟，验证结论.

由定理1可知，当R0<1时，对于τ≥0，平衡点E0渐近稳定.

取Λ=1，β1=0.01，μ=0.025，ε=0.01，

δ=0.9，β2=0.01，σ=0.000 02，γ=0.8，计算可得：R0=0.479 052，Λμ，0，0，0=（40，0，0，0），取初值为（1，0，0，0），取时间范围[0，400]，取

τ=0.3时，E0Λμ，0，0，0渐近稳定，见图1.

由引理2和定理2可知，若f0≥0，G≥0，当且仅当Z1>0且F（Z1）<0，平衡点E*（S*，Q*，I*，R*）局部渐近稳定.

取Λ=1.2，β1=0.82，μ=0.025，ε=0.5，δ=0.9，β2=0.74，σ=0.000 02，γ=0.7，计算得：R0=32.131 009，f0=295.457 213，G=9.030 268，Z1=4 454.155 426，τ0=59.275，F（Z1）=-573 368 486 819 321，（S*，Q*，I*，R*）=（0.055 401，1.593 995，26.384 436，19.966 168）取初值为（2，0，0，0），取时间范围为[0，400]，取τ=5∈0，τ0时，平衡点E*（S*，Q*，I*，R*）局部渐近稳定，见图2.

由定理2可知，如果不满足引理1和引理2，那么方程（3）所有的根，当τ≥0都具有负实部，平衡点E*（S*，Q*，I*，R*）全局渐近稳定.

取Λ=1.2，β1=0.01，μ=0.020 1，ε=0.001，δ=0.9，β2=0.001，σ=0.810 02，γ=0.99，通过计算可得：R0=1.090 25，f0=0.000 000 026 093，G=-0.037 7，Z1=-1.439 88，Z2=-3.972 748，F（Z1）=-4.632 551，F（Z2）=-52.823 798，Z3=-1.807 691，F（Z3）=-7.255 297，（S*，Q*，I*，R*）=（9.581，177.5，10.51，6.012）取初值为（2，2，0，0），取时间范围为[0，800]，取τ=20时，平衡点E*（S*，Q*，I*，R*）全局渐近稳定，见图3.

4结论

考虑合成毒品对人体的危害及复吸发生可能性的增加，构建一类合成毒品滥用者接受治疗

前后的传染性模型.通过对系统的分析，分别给出无合成毒品滥用和合成毒品滥用平衡点的渐近稳定和局部渐近稳定的条件，模拟验证了所得结论.从基本再生数的表达式中也可以看出，感染率会影响毒品滥用人数，其数值越小，合成毒品滥用人数越少，有吸毒史但已经戒毒的人数就会越多.因此，应多鼓励合成毒品滥用者接受治疗，提高治疗率，关注戒毒人员的心理状态，引导其健康的生活方式，防止复吸现象的发生.

参考文献

[1]刘宇琴，张俊华，荣右明，等.北方三省区吸毒成瘾人群药物滥用现状及行为特征分析[J].兰州大学学报：医学版，2018，44（2）：1-6.

[2]鲍彦平.我国的药物滥用形势与干预策略[J].中国药物依赖性杂志，2015，24（2）：85-88.

[3]Emma White，Catherine Comiskey.Heroin epidemics，treatment and ODE modelling[J].Mathematical Biosciences，2007，208：312-324.

[4]SAMANTA G.P..Dynamic behavior for a nonautonomous heroin epidemic model with time delay[J].Appl Math Comput.，2011，（35）：161-178.

[5]張玲，夏米西努尔·阿布都热合曼.海洛因传染病模型的确定性与随机性的全局分析[J].数学的实践与认识，2013，43（24）：278-284.

[6]李玉基，徐瑞.一类具有分布时滞和饱和发生率的海洛因传染病模型的全局动力学性态[J].黑龙江大学自然科学学报，2017，34（5）：524-530.

[7]刘朋燕.三类非线性动力系统的稳定性研究[D].咸阳：西北农业科技大学，2018，56.

[8]Robinson R.C.An Introduction to Dynamical Systems：Continuous and Discrete [M].Pearson Education，Inc，2005.

[9]Li X，Wei J.On the zeros of a fourth degree exponential polynomial with applications to a neural network model with delays[J].Chaos，Solitons and Fractals，2005，26（2）：519-526.

编辑：琳莉