尚祖恩 赵丽娟 刘雄豪 金 鑫

辽宁工程技术大学机械工程学院，阜新，123000

0 引言

为使矿井救灾工作在灾变井巷非结构化空间地形内顺利开展，人们研发了可代替或部分代替救护人员并能及时、快速深入矿井灾区进行环境信息探测与生命迹象搜寻工作的特种救援机器人[1-2]。目前矿用救援机器人主要包括小型环境探测机器人和营救机器人[3]，其中轮式救援机器人控制简单，移动稳定、高效，一直有着广泛应用，但其越障能力不足，在非结构化环境下适应能力较弱。因此学者们提出了轮履[4]、轮腿[5-6]等复合式和将类轮结构代替为轮部[7]的方法，通过改变不同的运动模式使救援机器人具有较高的环境适应能力。但由于煤矿井下环境极其恶劣，满足防爆要求及穿越狭小空间的能力对救援机器人的自重与尺寸均有较严格限制[8]，因此煤矿救援机器人的结构创新性设计至关重要。

折纸是一种起源于中国的古老东方艺术表达形式[9]，设计折痕可将折纸从2D平面折叠成所需的3D立体结构，折纸与机器人相互结合形成了特有的前沿领域。天津大学陈焱团队对折纸机器人进行了归纳总结[10]，将其分为骨架型折纸机器人、驱动型折纸机器人以及外壳型折纸机器人三种类型，其中骨架型折纸机器人将折纸作为变形结构，驱动型折纸机器人将折纸结构作为驱动器，外壳型折纸机器人将折纸结构作为保护外壳。折纸机器人可通过编程手段将制造与控制紧密结合，通过设计折痕使煤矿救援机器人具有较高的可定制性和适应性[11-12]，而且可以显著减小机器人质量并降低材料成本，同时利用折纸结构的可展特性使救援机器人具有一定程度的可变形性。

水弹折纸结构具有的径向可展特性被广泛应用于机器人设计中，FANG等[13]设计了一种蚯蚓状仿生机器人，通过水弹折纸结构的周期性轴径向变形模拟蚯蚓的蠕动。LEE等[14]设计了一款名叫SNUMAX的折纸轮式机器人，其轮部由水弹结构与履齿组成，采用层压加工工艺制成了模型。该轮式结构可折展、质量小、履齿结构在增大水弹轮式结构折展比的同时还可增加与地面的接触摩擦力。但上述设计都未考虑防爆结构对水弹轮式结构力学特性的影响，无法直接应用于矿用救援。

有关折叠结构的分析研究较多[15]，其中水弹折纸结构相关的研究包括：考虑纸张厚度的厚板折纸建模理论[16]、构建水弹折纸结构初始无变形状态的几何分析方法[17]、对称运动条件下水弹折纸结构的刚性可折叠运动学分析[18]、水弹折纸管状结构的轴向扭转运动学分析[19]、以多种四边形为基本单元的水弹轮式结构运动学建模[20]、利用铰链改变水弹折纸结构刚度的设计思路[21]、对基于水弹折纸图案的折纸支架热机械行为分析[22]、对水弹折纸管的折叠机理以及参数规律分析[23]、对由形状记忆合金驱动的水弹轮系统动力学分析[24]和水弹折纸结构基本单元的双稳态行为研究[25]等。本文以小型环境探测机器人作为研究对象，考虑水弹轮结构参数对矿用救援机器人承载能力和疲劳寿命的影响，结合实际应用对平行四边形水弹轮式结构进行多目标优化。首先对以平行四边形为基本单元的水弹轮式结构进行运动学分析，通过对比不同基本单元水弹轮式结构的承载能力确定基本单元构型，针对平行四边形水弹轮式结构疲劳损伤问题结合连续介质损伤力学理论对其结构疲劳寿命进行分析预测及多目标优化，并通过多材料3D打印制造模型进行试验验证。

1 平行四边形水弹轮式结构运动学建模

1.1 折痕设计

水弹轮式结构的折纸图案由六折痕顶点基本单元组成，如图1所示，水弹管状结构两端沿轴向收折，同时由中心位置沿径向展开，这种折纸结构可用作可变径轮式结构。

(a)初始状态 (b)展开状态图1 水弹管状结构径向折展Fig.1 Radial expansion of waterbomb tubular structures

由正方形、矩形、平行四边形为基本单元组成的水弹管状结构折痕展开图见图2。其中实线为山折痕，虚线为谷折痕，m、n分别为横纵向单元数，图2中m=2，n=6。设定正方形基本单元边长为2la，矩形边长为2la、2lb，平行四边形边长为2la、2lb，倾斜角度为α。本文以平行四边形为例，但其建模公式同样适用于正方形和矩形。

(a)正方形基本单元及折痕图

(b)矩形基本单元及折痕图

(c)平行四边形基本单元及折痕图图2 水弹结构折痕图Fig.2 Crease diagram of waterb omb structures

图3为平行四边形水弹轮式结构及其折痕图，此时m=3，n=9。图3a为水弹折纸结构的轮身展开图；图3b为端盖展开图；通过组合得到图3c所示的水弹轮式结构模型。定义ta为轮身展开图上下两侧拼接三角形中线长度，tb为端盖内正多边形中心到各顶点的距离。

(a)轮身展开图(b)端盖展开图

(c)水弹轮式结构模型图3 平行四边形水弹轮式结构Fig.3 Parallelogram waterb omb wheel structures

1.2 运动学建模

为保证水弹轮式结构变形性能，假设折叠部分为理想转动关节，对其进行运动学分析。根据实际工作需要将其分为：轮轴端层(水弹轮式结构端盖与传动轴连接位置)、轮支撑层(轮轴端层与接触层连接位置)、轮接触层(与地面接触位置)。定义水弹轮式结构轴线为Zc轴，其中Xc轴过轮接触层顶点Tc3，建立基础圆柱坐标系，如图4所示。为探究水弹轮式结构的运动特性，假设同层水弹轮式结构基本单元运动行为相同，水弹轮式结构两端运动行为一致。

图4 基础圆柱坐标系Fig.4 Basic cylindrical coordinate system

综上所述，确定平行四边形水弹轮式结构的初始配置参数为α、m、n、la、lb、ta、tb。

轮轴端层模型如图5所示，基础圆柱坐标系OcXcYcZc下折痕顶点Ec1、Ec2、Ec3如图5a所示，构建空间直角坐标系O1X1Y1Z1如图5b所示，其中O1为水弹轮式结构端盖中心点，Z1轴与Zc轴重合，X1轴过点Ec1，Y1轴符合右手定则，Ec1Ec2在X1O1Z1平面内。

(a)圆柱坐标系下轮轴端层模型

(b)直角坐标系下轮轴端层模型图5 平行四边形水弹轮式结构轴端层模型Fig.5 Shaft end layer model of parallelogramwaterb omb wheel structures

轮轴端层状态变量为θe1、θe2、le，其中,θe1为Ec1Ec2Ec3与Ec1Ec2E′c3两平面的二面角，θe2为Ec1Ec2与X1轴延长线的夹角，le为端盖中心距圆柱坐标系原点Oc的距离，轮轴端层运动学建模如下：

(1)

(2)

(3)

轮支撑层模型如图6所示，圆柱坐标系OcXcYcZc下折痕顶点Sc1～Sc5如图6a所示，构建空间直角坐标系O2X2Y2Z2以Sc3为原点，Sc3与O2重合，Z2轴垂直于平行四边形上下两条边，Y2轴与上下两条边平行，X2轴符合右手定则垂直于基本单元，如图6b所示。

(a)圆柱坐标系下轮轴端层模型

(b)空间直角坐标系下轮轴端层模型图6 平行四边形水弹轮式结构支撑层模型Fig.6 Support layer model of parallelogramwaterb omb wheel structures

支撑层状态变量为θs1、θs2、θs3、θs4、ls、rs，其中，θs1、θs2分别为Sc2Sc3和Sc3Sc4在X2O2Z2平面的投影与Z2轴所夹的角度，θs3、θs4分别为Sc1Sc2Sc3与S′c1Sc2Sc3两平面的二面角和Sc5Sc4Sc3与S′c5Sc4Sc3两平面的二面角，ls为Sc3点距Oc点的距离，rs为过Sc3点作Zc轴垂线的距离。轮支撑层运动学建模如下：

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

轮接触层模型如图7所示。图7a中的Tc1～Tc5为圆柱坐标系下折痕顶点。构建空间直角坐标系O3X3Y3Z3，其中,Tc3为原点，与O3重合，Z3轴垂直于平行四边形上下两条边，Y3轴与上下两条边平行，X3轴符合右手定则垂直于基本单元,如图7b所示。

(a)圆柱坐标系下轮轴端层模型

(b)直角坐标系下轮轴端层模型图7 平行四边形水弹轮式结构接触层模型Fig.7 Contact layer model of parallelogramwaterb omb wheel structures

接触层状态变量有θt1、θt2、θt3、θt4、rt，其中,θt1、θt2分别为Tc2Tc3和Tc3Tc4在X3O3Z3平面的投影与Z3轴的夹角，θt3、θt4分别为Tc1Tc2Tc3与T′c1Tc2Tc3两平面的二面角和Tc5Tc4Tc3与T′c5Tc4Tc3两平面的二面角，rt为过Tc3点作Zc轴垂线的距离。由于水弹轮式结构原点Oc中心对称，如图7b所示，所以有以下角度关系：

θt1=θt2θt3=θt4

(13)

轮接触层运动学建模如下：

(14)

(15)

(16)

通过对Tc2点进行运动学求解可得到水弹轮式结构径向折展比φ：

(17)

其中,r′t、θ′t1与rt、θt1为展开完成与初始状态参数。经迭代求解后设定初始参数α=0.256 rad、ta=26.7 mm、tb=61.5 mm、la=70 mm、lb=74.1 mm[17]。如图8所示，当半径rt在[67.9,103]mm范围内变化时，轮轴端层二面角θe1在[1.06,1.56]rad范围内变化，当rt=87.6 mm、θe1=1.56 rad时，θe1最大，随后轮支撑层发生轴向扭转运动[16]，θe1开始变小，最终当半径rt=103 mm、θe1=1.41 rad时，水弹轮式结构完成展开运动。

图8 折展过程中θe1变化趋势Fig.8 Variation tendency of θe1 in the folding process

图9所示为轮支撑层二面角θs3变化趋势，当半径rt在[67.9,103]mm范围内变化时，轮轴端层二面角θs3在[0.7,1.07]rad范围内变化，当rt=83.5 mm时，θs3=1.01 rad，此时θs3达到最大。随后轮支撑层发生轴向扭转运动，θs3开始变小，最终当半径rt=103 mm、θs3=0.7 rad时，水弹轮式结构完成展开运动。

图9 折展过程中θs3变化趋势Fig.9 Variation tendency of θs3 in the folding process

经运动学分析发现，水弹轮式结构在运动状态Ⅰ～Ⅱ阶段为刚性折纸运动，Ⅱ～Ⅲ阶段为结构形变，二面角θe1和二面角θs3在展开过程中存在先增大后减小的变化趋势，平行四边形水弹轮式结构支撑层在折展过程中存在轴向扭转运动，位置发生在轴端层和支撑层连接位置，从而为后续水弹轮式结构力学特性分析提供了理论基础。

2 水弹轮式结构机械特性分析

2.1 径向承载特性分析

利用有限元软件ABAQUS/Explicit中显式动力学求解器模拟不同基本单元的水弹轮式结构径向压缩过程，求解高度非线性问题。在m和n确定的情况下,探究关键结构参数基础单元边长la和lb、倾斜角度α、结构厚度v、单元间隙u(图10)对水弹轮式结构径向承载特性的影响，水弹轮式结构初始变量如表1所示，其中三种模型软硬材料质量大小相同，模型总质量均为1.08 kg。

图10 材料区域划分Fig.10 Material area division

表1 初始关键设计变量

防爆和续航问题导致救援机器人质量较大，因此需对水弹轮式结构承载能力进行分析以保证其承载要求。设计的矿用救援机器人总质量约65 kg，由4个水弹轮式结构均布承载，单轮承受载荷为162.5 N。软硬材料区域划分如图10所示，材料属性如表2所示。水弹轮式结构轴线固定，固定一侧端盖，另一侧施加位移载荷，然后对不同折展状态下水弹轮式结构施加垂直向上的位移载荷U，达到材料强度极限后记录极限承载力FLmax，结果如图11～图13所示。

表2 材料属性

图11 正方形水弹轮式结构极限承载力变化趋势Fig.11 Variation tendency of square waterb omb wheelstructures’ ultimate bearing capacity

图12 矩形水弹轮式结构极限承载力变化趋势Fig.12 Variation tendency of rectangular waterb ombwheel structures’ ultimate bearing capacity

图13 平行四边形水弹轮式结构极限承载力变化趋势Fig.13 Variation tendency of parallelogram waterb ombwheel structures’ ultimate bearing capacity

图11～图13给出了不同基本单元的水弹轮式结构折叠时极限承载力随压缩距离的变化曲线，可以看出随着轴向压缩距离s的增大，水弹轮式结构极限承载力逐渐增大，水弹轮式结构在轴向未压缩状态下，极限承载力最小，其中平行四边形水弹轮式结构极限承载力大于正方形、矩形水弹轮式结构极限承载力，主要是由于平行四边形水弹轮式结构轴向压缩过程中发生了轴向扭转变形。

由于初次设计三种水弹轮式结构对应的结构参数具有一定的探索性，使得水弹轮式结构的承载力并不理想，需要对水弹轮式结构进行优化设计。通过拟合多组数据构建平行四边形水弹轮式结构轴向未压缩状态下极限承载力与其初始参数的函数关系如下：

(18)

其中,复相关系数R2=0.99，说明拟合函数具有较高的精度。

2.2 轴向压缩疲劳寿命分析

为探究平行四边形水弹轮式结构可靠性问题，基于连续介质损伤力学理论对水弹轮式结构轴向压缩载荷下进行裂纹萌生疲劳寿命预测，将等效应变范围作为损伤参量,得到疲劳载荷下水弹轮式结构裂纹萌生疲劳寿命预测模型如下：

(19)

(20)

(21)

其中,经疲劳试验数据拟合计算确定Agilus软胶材料常数a、b、μ1、α1分别为1.12、1926、1.033、1.722，Δεf为等效应变范围。

采用ABAQUS仿真模拟平行四边形水弹轮式结构的准静态径向展开过程，沿水弹轮式结构轴线向内施加150～200 N疲劳载荷，通过应力应变分析确定易发生疲劳破坏区域，结果如图14、图15所示。

(a)应力云图

(b)应变云图图14 轴向150 N载荷下应力应变云图Fig.14 Stress-strain contours under an axial loadof 150 N

(a)应力云图

(b)应变云图图15 轴向200 N载荷下应力应变云图Fig.15 Stress-strain contours under an axial loadof 200 N

由图14、图15可见，在疲劳载荷作用下水弹轮式结构危险位置为端盖边缘环状区域，提取危险位置的主应力计算得到等效应变范围Δεf=0.5861，经式(19)计算疲劳寿命预测值Nf=1474，可见轴向加载产生的疲劳裂纹会对水弹轮式结构寿命有较大影响，因此为提高水弹轮式结构使用寿命，调整设计参数拟合得到裂纹萌生疲劳寿命函数关系如下：

(22)

复相关系数R2=0.99，模型拟合效果较好。

3 平行四边形水弹轮式结构多目标优化

以基础单元边长、倾斜角度、水弹轮式结构结构厚度、单元间隙为设计变量x，以水弹轮式结构的折展比为约束条件、以极限承载力和疲劳寿命最大为目标，建立优化模型如下：

(23)

其约束区间如下：

(24)

其中，Sn为设计变量库。各单目标具有同等重要程度，因此极限承载力权重λ1=0.5，裂纹萌生疲劳寿命权重λ2=0.5。应用遗传算法求解优化问题，设定种群大小为100，精英数目为10，交叉后代比例为0.75，最大进化代数为200，停止迭代数为200，适应度函数值偏差默认为1×10-6，求解确定优化前后关键设计变量如表3所示，性能指标对比如表4所示。

表3 水弹轮式结构关键设计变量

表4 优化前后性能指标对比

由表4可见，优化后折展比提高约15.8%，极限承载力和裂纹萌生疲劳寿命提高约40.7%和55.4%，水弹轮式结构整体性能提升较明显。

4 试验验证

通过多材料3D打印制作比例为1∶2的平行四边形水弹轮式结构实物模型进行折展可行性试验，试验测试过程如图16、图17所示。将实物模型压缩，测量得折展比约为2.02，与理论值之间误差为4.72%，试验结果验证了运动学模型的准确性与优化过程的有效性。

图16 轮径未折展状态测量Fig.16 Measurement of wheel diameter in theunfolded state

图17 轮径展开状态测量Fig.17 Measurement of wheel diameter in thefolded state

图18 水弹轮式结构径向压缩试验Fig.18 Radial compression test of waterbombwheel structures

为验证优化后水弹轮式结构符合承载力要求，对1∶1实物模型进行试验测量，如图18所示。将水弹轮式结构通过固定模具固定到传感器上，通过径向压缩水弹轮式结构测出对应承载力，径向压缩测试使用WDW-2D型微机控制电子万能试验机，压缩速度为0.5 mm/min，利用固定模具调整水弹轮式结构折展状态，测试5次后取平均值得到极限承载力，如图19所示。

图19 仿真与试验结果对比Fig.19 Comparison of simulation and test results

由图19可知，优化后水弹轮式结构极限承载力理论值为170.3 N，实测极限承载力为159.1 N，两者误差为6.58%，优化后结构更加趋于合理。

平行四边形水弹轮式结构轴向疲劳试验如图20所示，对试件施加150～200 N的垂向交变载荷，经1718次疲劳试验结构出现疲劳裂纹，其中危险点部位最先出现微小裂纹，如图21所示。可以看出，产生裂纹位置与仿真危险位置一致，出现在端盖边缘位置。优化后裂纹萌生寿命理论值为2291次，实测值与理论值之间误差为25.01%，在工程可接受范围之内，验证了疲劳寿命预测的有效性。

图20 水弹轮式结构轴向压缩试验Fig.20 Axial compression test of waterbombwheel structures

图21 疲劳破坏区域Fig.21 Fatigue failure area

5 结论

(1)本文提出了一种平行四边形水弹轮式结构运动学建模方法，并对平行四边形水弹轮式结构进行了运动学分析，发现二面角θe1和θs3具有先增大后减小的变化趋势，平行四边形水弹轮式结构端盖层与支撑层连接位置存在轴向扭转运动。

(2)为探究扭转运动是否对水弹轮式结构的承载特性产生影响，利用有限元软件对水弹轮式结构极限承载力进行分析，在模型的质量相同条件下对比三种不同基本单元水弹轮式结构计算结果发现，平行四边形水弹轮式结构承载特性较好，增加了水弹轮式结构的设计灵活性，提高了水弹轮式结构承载能力。

(3)基于连续介质损伤力学理论对平行四边形水弹轮式结构轴向压缩载荷下疲劳寿命进行预测，发现端盖边缘为易发生疲劳破坏区域。

(4)以折展比为约束条件，以极限承载力、疲劳寿命作为目标函数进行多目标优化，优化后平行四边形水弹轮式结构折展比、极限承载力、疲劳寿命分别提高约15.8%、40.7%、55.4%，经多材料3D打印制作平行四边形水弹轮式结构进行试验测试，试验结果验证了拟合模型的有效性和可行性，为煤矿救援机器人可折展轮式结构的工程应用提供了有效设计方案。