郑 军∗何 莎

(1.西南交通大学 数学学院,四川成都 611756;2.蒙特利尔工学院 电气工程系,加拿大蒙特利尔H3T 1J4)

§1 引言

在晶体生长,金属浇铸和退火,固体气体反应系统,固体和流体力学,以及生物系统中出现的许多问题中,所涉及的输运反应现象通常用具有时变系数的抛物型偏微分方程来描述,例如[1-6].具有时变系数的抛物型偏微分方程解的适定性以及正则性理论已有广泛发展(如[7-9]).然而对于具有时变系数的抛物型偏微分方程解的稳定性研究还比较有限,例如[10-13]考察的对象仅是具有时变系数的线性抛物系统,其中[10-12]通过控制器设计,得到系统的稳定性,而[13]建立了系统的可观性.基于此,本文考察具有时变系数的超线性抛物型偏微分方程

的稳定性.其中Ω ⊂RN(N ≥1)为有界开区域,且边界∂Ω是C1-的,a ∈C(Ω ×R+;R≥0),c ∈C(Ω ×R+;R)均依赖于时间变量t,f ∈C(Ω ×R+×R;R)为非线性项,且存在a0,µi ∈C(R≥0;R≥0),i=1,2,···,n,及c0∈C(R≥0;R)使得

这里mi >1,i=1,2,···,n,n为正整数,R为实数集,R+为正实数集,R≥0为非负实数集.

对于(1) 中的方程,一个典型的形式为

其中c,µ1,µ2为连续函数,p,q >1且p≠q.当c,µ1不依赖于时间变量且µ2(t)≡0时,在不同条件下,已有大量文献利用Galerkin方法,或能量方法,或稳定性集和半群理论等方法,对(4)的解在有限时间的爆破性,或在小初值条件下系统的稳定性等进行探讨,现不再详述.然而,当c,µ1,µ2依赖于时间变量且µ2(t)/≡0时,对该类问题的稳定性或者爆破性质进行研究存在着较大困难.另外,如前所述,由于许多工程实际问题中,描述物理现象的经常是具有时变系数的超线性方程,且从控制角度考虑,必须要保……