魏怡倩,梁海华

(广东技术师范大学 数学与系统科学学院,广东广州 510665)

§1 引言

平面微分系统定性理论中一个重要的问题是确定极限环的个数.极限环是指平面系统的孤立闭轨,它的个数和分布状况在很大程度上决定了系统的全局动力学行为.正因如此,探讨极限环的个数问题一直是微分动力系统定性理论的一个热点课题.著名的Hilbert第十六个问题的第二部分就是求所有n次平面多项式微分系统的极限环的最大个数及其位置分布情况.尽管这个问题至今仍未取得实质性进展,但人们在研究它的过程中发展了很多方法和技术,获得了丰富的成果.特别是,人们发现了产生极限环的某些机理.其中一个重要机理是所谓的Poincare分支:平面系统的周期环域(即围绕中心奇点的闭轨族)受到适当的扰动后将产生极限环,详见[1]的介绍.

研究Poincare分支的方法主要有Menikov函数法和平均函数法.如果系统的扰动项仅有一个扰动参数,则上述两种方法是等价的,即对同样的k,由k阶Menikov函数和k阶平均函数所确定的极限环个数是一样的.这个看似显然的结论,直到2016年才由韩茂安等人给出严格的证明[2].迄今,已有很多文献使用这两种方法来讨论平面系统的极限环分支问题.2016 年,文[3]利用一阶平均法研究了如下系统

他们证明了,当n分别等于0和1且扰动参数ε充分小时,从未扰系统(1)ε=0的周期环域分支出极限环的最大个数为3和8.

由[3]的证明过程容易看出,对于n=0的情形,该……