杨 清,张 奕

(浙江大学 数学科学学院,浙江杭州 310027)

§1 引言

结构变化广泛存在于时间序列模型中,它的存在往往影响着模型拟合的精确度.如果已知变化的时间(变点),可以把整个时间段分成平稳的小区间段,然后在每个平稳区间上运用成熟的平稳时间序列建模方法去更好地拟合模型.然而,实际应用中变点位置往往是未知.因此,变点估计成为一个重要的研究领域,很多学者在这方面作出了卓越贡献,相关介绍参见Truong等人的综述[1]及其中的参考文献.

在非参回归领域,一些学者已经研究过均值变点问题,具体地,设是一个时间序列,且可表示为

其中未知函数g1≠g2,εt是误差项.若εt满足E[εt|Xt]=0,则k是条件均值函数由g1变为g2的时间点,称为变点,即

为了估计变点k,Yang等人在文[2]中提出了一种基于对比的CUSUM(累计和)方法去检测并估计变点位置;Mohr等人在文[3]中则利用了一种基于残差的CUSUM方法来估计变点.然而,仅考虑条件均值去刻画X对Y的影响是远远不够的,特别是当误差项呈现非对称的重尾时.常见的重尾分布有Pareto分布,Weibull分布以及对数正态分布等.当处理这种数据时,模型的结构变化往往集中在尾部的变化,而均值却变化不大.所以,均值变化不足以捕捉到实际模型的变化,这进一步导致根据均值变化去估计模型结构的变点是不可行的.

据此本文用非对称的二次损失函数替代均值回归中的对称二次损失函数,考虑在给定X=x的情况下Y的τ-expectile回归(0<τ <1)

其中非对称二次损……