宋 琪,陆三兰

(华中科技大学 电子信息与通信学院,湖北 武汉 430074)

在“信号与系统”课程中,傅里叶变换和拉普拉斯变换都是重要的教学内容.一般来说,傅里叶变换的学习难度更大一些,因为一些不满足绝对可积条件的信号,它们的傅里叶变换不是根据定义或者用傅里叶变换的常用性质获得的,而是采用了一些特殊方法,学生们往往难以掌握.绝大多数“信号与系统”教材总是将傅里叶变换的内容安排在前面,而将拉普拉斯变换放在后面,因此利用拉普拉斯变换求傅里叶变换的方法往往被忽视了.实际上,由于拉普拉斯变换与傅里叶变换之间存在普遍性与特殊性的关系,故利用拉普拉斯变换求傅里叶变换也不失为一种有效的方法,当然具体使用时还需要注意使用条件.

1 拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系

连续时间信号x(t)的傅里叶变换定义为[1]

x(t)的拉普拉斯变换定义为

对比式(1)与式(2)可知,x(t)的拉普拉斯变换与傅里叶变换的表达式有如下关系:

由于s=σ+ jω,只有当σ= 0时,才有s=jω,故式(3)成立的条件是:X(s)的收敛域(ROC)必须包含s平面的虚轴(即σ= 0).也就是说,利用拉普拉斯变换求傅里叶变换必须满足此条件.有必要说明一点,式(2)定义的是双边拉普拉斯变换,其收敛域可能是s平面上的一个右半平面、左半平面、垂直带状区域或者是全平面.根据函数X(s)的收敛域是否包含虚轴(jω轴),利用拉普拉斯变换求傅里叶变换可分为三种情况: (1)若X(s)的收敛域不包含虚轴且收……