鄢雄伟，杜 波，李绍隆，张璐华，李克勇

（1.上海机电工程研究所，上海 201109；2.海装装备项目管理中心，北京 100071）

0 引 言

根据时间尺度划分，导弹姿态变化为短周期运动，位置和速度变化是长周期运动。因此，在导弹的纵向动力学特性分析中，通常采用特征点固化系数方法，不考虑位置和速度变化的影响。这种方法在工程上得到了广泛应用，大大简化了弹体动态特性分析和控制系统设计，取得了较好的应用效果［1］。尽管如此，在旋转导弹飞行过程中，发动机推力变化会对弹体纵向动态响应产生显著的影响，使得弹体稳定性降低，甚至导致弹体出现不收敛的锥形运动［2-9］。研究推力变化对旋转导弹动稳定性的影响机理，通过分析得到稳定设计边界条件，对指导新型旋转导弹总体设计和控制系统设计具有重要意义。

相比常规侧滑转弯（skid to turn，STT）导弹，旋转导弹的典型特征是俯仰和偏航通道是强耦合的。由于弹体连续周期滚转，当弹体俯仰运动时，会产生Magnus 型面外力和面外力矩，引起偏航方向的运动。引起旋转导弹俯仰和偏航运动耦合的因素主要包括惯性耦合、气动耦合、控制耦合等［10］。俯仰与偏航运动之间的强耦合使得旋转导弹动力特性更加复杂，对外界扰动也更加敏感。在不考虑推力偏心和气动外形不对称的情况下，轴向作用力不直接影响旋转导弹纵向的交叉耦合关系，但推力快速变化过程可能会对旋转导弹的耦合动力学响应产生影响。本文针对旋转导弹的特点，从动力学建模入手，通过理论分析和公式推导，建立导弹推力变化对纵向运动的影响关系，进而给出推力快速变化过程中导弹稳定性随之变化的机理，得到设计稳定的约束条件，最后通过数值仿真进行验证分析。

1 动力学建模

为了分析推力变化的影响，在旋转导弹交叉耦合动力学模型中引入轴向力项。

式中：u、v、w为导弹速度在弹体系X、Y、Z轴的分量；Q为动压；S为参考面积；P为发动机推力；m为导弹质量；α为攻角；β为侧滑角；δY、δZ为舵偏角；p、q、r为导弹角速度在弹体系X、Y、Z轴的分量；IX、IY、IZ分别为导弹三轴转动惯量；CD为轴向力系数；CαN、CβN、CδN分别为法向力系数对攻角、侧滑角、舵偏角的偏导数；分别为俯仰力矩系数对攻角、侧滑角、舵偏角、俯仰角速度的偏导数。

对式（3）求导并将式（1）代入，整理可得

假设不考虑气动非线性的影响，令a24＝CD）/mu，a37＝QSCβNmu，a35＝QSCδNmu，则式（2）和式（4）可写为

在小攻角、小侧滑角前提下，在式（5）中近似r≈̇，q≈̇并代入，可得

对式（6）求导并将式（7）代入，整理可得

式（8）即为考虑推力变化的旋转导弹动力学方程。

2 机理分析

分析式（8），在不考虑交叉耦合的情况下，攻角响应方程与侧滑角响应方程一致［11］。以攻角响应方程为例：

弹体动态稳定的条件是

根据式（10）中第1个条件可以得到Ṗ＞mua24，即推力由大到小变化过快时，会导致弹体动态不稳定，而推力由小变大的过程则会增加弹体的动稳定性。

根据式（10）中第2 个条件可以看出，推力大小还会影响弹体阻尼，但是推力主要起增加阻尼的作用，有利于弹体动态稳定。

综合考虑交叉耦合作用，采用文献［12］中的方法，式（8）所描述系统的特征方程为

式中：λ为特征根；p1＋iq1＝-(a22-(P mu)-a34)-i(a28＋a37)；p2＋iq2＝-(a24-(Ṗmu))＋ia27。

根据复系数系统的稳定性判据［13］，可以得到弹体稳定性条件为

从式（12）中可以看出，考虑交叉耦合后，系统的动态稳定条件发生了变化。通常情况下，第2 个条件可以满足，即系统是负阻尼的。第1 个条件分为以下几种情况：

1）情况1：Magnus 力系数为正，Magnus 力矩系数为正，即a37＞0且a27＞0，则-a272（a22-（P mu）-a34）2＜0中的陀螺力矩系数a28为正数。

可见，此情况下交叉耦合导致旋转导弹的动稳定性降低，推力变化更容易导致弹体动态不稳定。

2）情况2：Magnus 力系数为正，Magnus 力矩系数为负，即a37＞0且a27＜0。

当a28＋a37＜时，交叉耦合导致旋转导弹的动稳定性降低。

当a28＋a37＞时，交叉耦合使得旋转导弹的动稳定性增加，有利于抑制推力变化引起的动态不稳定。

3）情况3：Magnus 力系数为负，Magnus 力矩系数为负，即a37＜0且a27＜0，此情况与情况2一致。

当a28＋a37＜时，交叉耦合导致旋转导弹的动稳定性降低。

当a28＋a37＞时，交叉耦合使得旋转导弹的动稳定性增加，有利于抑制推力变化引起的动态不稳定。

4）情况4：Magnus 力系数为负，Magnus 力矩系数为正，即a37＜0且a27＞0。

综合分析上述情况，当忽略Magnus 力和陀螺力矩时（这两项通常很小），令a37＝0 且a28＝0，主要考虑Magnus力矩的影响，则无论a27是正是负，均使得旋转导弹的动稳定性降低。

进一步分析推力变化对动稳定性的影响，可以得到推力变化率的设计稳定边界条件

式（13）在导弹总体设计时一般要作为设计约束，对发动机转级和关机过程进行主动控制，确保在飞行过程中动态稳定。

对于旋转导弹，俯仰和偏航方向的交叉耦合作用导致推力变化对动稳定性的影响加剧。而且，推力变化主要影响了攻角平面的稳定力矩，对垂直攻角平面的面外力矩大小没有影响，这使得面外力矩与稳定力矩的比值显著增大，导致弹体会出现锥摆运动。

3 数值仿真

以某旋转导弹发动机转级过程为例，对本文提出的稳定性分析方法进行验证。导弹重量约为45 kg，速度约为600 m/s，其他参数如表1所示。

表1 动力学系数参数Tab.1 Dynamic coefficient parameters

当推力按照不大于6 000 N 计算时，P mu相对（a22-a34）是小量，可忽略不计。根据式（12）可以计算出设计稳定边界为＞-496 3。

分别以̇＝0、̇＝-4 000 和̇＝-5 000 进行数值仿真，攻角-侧滑角响应曲线分别如图1～3 所示。可以看出，推力变化使得导弹动稳定性降低，推力变化超过设计稳定边界，弹体会出现锥形运动发散。因此，导弹总体设计和控制系统设计要考虑推力变化的影响，通过合理的指标分解，确保导弹飞行全过程具有较好的响应特性。

图1 ̇＝0时攻角-侧滑角响应Fig.1 Response of the attack angle-sideslip angle at ̇＝0

图2 ̇＝-4 000时攻角-侧滑角响应Fig.2 Response of the attack angle-sideslip angle at＝-4 000

图3 ＝-5 000时攻角-侧滑角响应Fig.3 Response of the attack angle-sideslip angle at＝-5 000

4 结 论

本文针对在推力快速变化条件下旋转导弹的动稳定性问题，建立了交叉耦合动力学模型，给出了推力变化率与俯仰偏航交叉耦合共同导致旋转导弹稳定性降低的机理，并推导了设计稳定的边界条件。通过分析，得到以下结论：

1）推力变化率为负时，旋转导弹的动稳定性降低，推力由大到小变化过快时，会导致弹体动态不稳定；

2）推力变化与交叉耦合作用共同影响旋转导弹的动态响应，相比非旋转导弹，推力变化对旋转导弹的影响更加显著，更容易引起动态失稳；

3）推力变化率的设计稳定边界主要与导弹的静稳定力矩、Magnus 力矩以及动态阻尼相关，导弹总体设计和控制系统设计需考虑该设计约束。