霍俊蓉，张荣培，温学兵

（1. 沈阳师范大学 数学与系统科学学院，沈阳 110034；2. 广东工业大学 应用数学学院，广州 510006）

0 引言

近年来，许多学者采用有限差分方法对逼近多种模型方程进行了研究，包括Allen-Cahn方程［1］，Cahn-Hilliard方程［2］，反应扩散方程［3］，薛定谔方程［4］等等. 这些方程在物理、化学、化工、材料科学［5-8］等方面有越来越广泛的应用. 在数值分析中，计算矩阵的特征值与特征向量是一项主要研究内容，也是求解矩阵的重点. 应用有限差分方法离散数值方程时，将得到方程的微分矩阵，在大多数情况下，需结合微分矩阵的特征值与特征向量对其进行特征分解，进而得到对角矩阵，使得计算更加简便快捷. 本文总结了微分矩阵的特征分解形式，并通过求解其特征值与特征向量来验证三种不同边界条件下的分解形式.

1 微分矩阵的特征分解

设有三种不同边界条件，即齐次Neumann边界，Dirichlet边界，周期边界. 利用二阶中心差分方法对模型方程进行离散，可以得到方程在网格节点处的二阶导数差分格式. 定义常数ε1，ε2，方程在三种边界条件下对应的N×N阶微分矩阵分别为A，B，C. 其中（A）ii=（B）ii=（C）ii= 2，i= 2 ，…，N-1，Aii-1=Bii-1=Cii-1-1，i= 2 ，…，N，Aii+1=Bii+1=Cii+1=-1，i= 1 ，…，N-1，A1，1=AN，N= 1，Bii-1=BN，N=C1，1=CN，N= 2，C1，N=CN，1=-1，矩阵A，B，C中其他位置的元素均为0.

考虑如下特征值问题：

其中λ为特征方程的特征值；v为相应的特征函数；由于微分矩阵是由二阶导数差分后离散得到，因此可以考虑v在离散点的值作为矩阵的特征向量，记为y.

1.1 齐次Neumann 边界

首先，设定边界条件为齐次Neumann边界，即

将求解区域等距划分为N个网格，其中步长为hA= 1N，网格节点为xi= (i- 1 2)hA，i= 1，2，…，N，为了证明边……