蔡海涛 黄少莹 卢 妮

(福建省莆田第二中学 351131)

一、试题呈现

(1)求E的方程；

(2)证明：直线CD过定点.

本题第(1)小题以椭圆为载体，考查椭圆基本量的运算，求标准方程等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想.

第(2)小题以探索性问题为载体，考查椭圆的简单几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合思想、函数与方程思想、化归与转化思想，考查直观想象、数学运算等核心素养.

二、解法赏析

故直线CD的方程为

点评本解法从设点P的坐标出发，得到直线AP的方程，然后与椭圆方程联立，由于知道一个交点(点A)的坐标，故可根据韦达定理求出另一个交点(点C)的坐标，这种处理方法叫“小联立”.同理得到点D的坐标，进而得到直线CD的方程，再求得直线CD过定点.

解法二(设直线)：设C(x1,y1)，D(x2,y2)，P(6,t).

若t≠0，设直线CD的方程为x=my+n，由题意可知-3

解法三(利用三点共线)：设C(x1,y1)，D(x2,y2)，P(6,m).

(ⅱ)当直线CD斜率存在且不为0时，设直线CD与x轴交点为M(x0,0).

(ⅰ)当点P在x轴上时，C与B重合，D与A重合，此时直线CD方程为y=0.

(ⅱ)当点P不在x轴上时，直线PA，PB的斜率都存在且y1，y2都不为0.

由④得3x2y1-x1y2=9y1+3y2，由⑤得x2y1-3x1y2=-3y1-9y2，两式相加得

4x2y1-4x1y2=6y1-6y2⑥.

点评本法构建曲线系解题.一般地，若两曲线C1:f(x,y)=0和C2:g(x,y)=0有交点,则过两曲线交点的曲线系方程可设为:λf(x,y)+μg(x,y)=0；方程f(x,y)g(x,y)=0表示曲线C1和C2.曲线系是具有某种性质的曲线的集合,合理运用曲线系解题体现了整体处理的解题策略，可大大简化运算.

三、背景探究

四、教学反思

1.圆锥曲线的定量问题

圆锥曲线中的定量问题包……