廖永福

(福建省厦门第二中学 361009)

基本不等式结构简单，形式优美，它是高中数学的重要内容，也是高考数学的重要考点.应用时要依次满足条件：一正、二定、三相等，三者缺一不可.基本不等式是解决最值问题的有力工具，在解题中有着广泛的应用.

一、求最值

例1 (2020·江苏)已知5x2y2+y4=1(x,y∈R)，则x2+y2的最小值是____.

点评本题考查应用基本不等式求最值，考查转化思想和运算能力.解法一思路朴实，过程直接.解题关键是消元.把目标代数式表示成关于y的函数，直接应用基本不等式求解；解法二构思巧妙，方法灵活,解题关键是由条件等式构造出两个正数5x2+y2与4y2之积为定值，进而可用基本不等式的变式求解，属于中档题.

二、证明不等式

应用基本不等式证明不等式，常常与分析法、综合法、作差(商)法等结合使用，解题关键依然是构造两个正数之和(积)为定值，使之符合基本不等式的三个条件.

例2 (2020·全国卷Ⅲ(理))设a,b,c∈R，a+b+c=0，abc=1.

(1)证明：ab+bc+ca<0；

解答(1)∵(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc=0，

∵abc=1,∴a,b,c均不为0，则a2+b2+c2>0，

(2)不妨设max{a,b,c}=a，由a+b+c=0,abc=1可知，a>0,b<0,c<0.

点评本题主要考查不等式的性质以及基本不等式的应用，属于中档题.

三、恒成立问题

对于含参数的不等式恒成立问题，常常将它转化为函数的最值问题求解.常用的结论有：(1)任意x∈D，f(x)>m恒成立⟺f(x)min>m；(2)对任意x∈D，f(x)

点评本题考查绝对值不等式，考查不等式恒成立问题的解法，考查二次函数最值的求法，考查利用基本不等式求函数的最值.解题关键是如何把不等式恒成立问题转化为函数的最值问题，属中档题.

四、实际问题

应用基本不等式解决实际问题时……