黄龙孙

(江苏省常州高级中学 213003)

一、利用导数求极值问题

极值问题一般在考察时就是对导数知识进行考核，如果不利用导数进行求解，那么极值问题就会变得十分困难，学生在解题时也会很浪费时间.在导数的应用下，学生可以轻松地判断出函数图像的变化趋势，然后根据一些特殊的点来判断出极值点，最后解决极值问题.

(1)若曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线平行于x轴，求a的值；

(2)求函数f(x)的极值.

①当a≤0 时，f′(x)>0，

所以f(x)在(-∞,+∞)上是增函数，所以函数f(x)无极值.

②当a>0时，令f′(x)=0,

得ex=a,即x=lna.

所以当x∈(-∞,lna)时,f′(x)<0

当x∈(lna,+∞)时，f′(x)>0

所以f(x)在(-∞,lna)上单调递减，在(lna,+∞)上单调递增，

故f(x)在x=lna处取得极小值，且极小值为f(lna)=lna，无极大值.

综上所述：

当a≤0 时，函数无极值;

当a>0时，f(x)在x=lna处取得极小值lna，无极大值.

二、利用导数推导函数图像

图像是函数学习的难点，它也是学生学习时抽象性最大的问题，很多学生都无法理解图像的意义，尤其是在推导函数图像时，像一些高次幂的函数学生根本无法画出图像，在导数的帮助下，学生可以计算出图像的变化规律，从而能够根据间断点来大致的区分函数图像.

例2 设函数f(x)在定义域内可导，y=f(x)的图像如图1所示，则导函数y′=f′(x)的图像可能为( ).

图1

解析观察原函数图像可以得到：当x∈(-∞,0)时，函数f(x)单调递增,所以能够判断出在x∈(-∞,0)时，f′(x)>0,故选项A和C排除，在选项B和D中选择；根据原函数图像在(0,+∞)中的单调区间，可以分析出：函数图像先递增后递减，最后又呈递增趋势，根据导数几何意义，可以推导出f′(x)的图形趋势为：f′(x)图像先处于x轴上方，在处于x轴下方，最后又处……