潘 宇

(广东省华南师大附中汕尾学校 516600)

2021年高考刚刚落下帷幕，全国各地老师纷纷对其中的优秀试题展开研究.笔者在研究2021年新课标Ⅲ卷第20题解析几何时，发现该题既可以用特殊位置猜想结果，又可以用基本思想方法解答.此题不仅可以寻找到往年旧题中的缩影，更能挖掘其深藏的竞赛背景，下面笔者以此题为例，从真题解法赏析、试题背景探源、基本思想方法的应用和教学启示等四个方面展开详细阐述.

一、真题解法赏析

例1 (2021年新课标Ⅲ卷第20题)抛物线C的顶点为坐标原点O，焦点在x轴上，直线l:x=1交C于P，Q两点，且OP⊥OQ，点M(2，0)，且⊙M与l相切.

(1)求C，⊙M的方程；

(2)设A1，A2，A3是C上的三个点，直线A1A2，A1A3均与⊙M相切，判断直线A2A3与⊙M的位置关系，并说明理由.

图1

评注由于第二问难度较大，很多学生可能想不到如何破解或者在考场上来不及研究，所以可以先用“特殊化”的思想，预测答案，再从“特殊到一般”，寻找证明思路，或者书写有效的得分步骤，争取得分最大化.

二、试题背景探源

例1的竞赛背景为彭赛列闭合定理：平面上给定两条圆锥曲线，若存在一封闭多边形外切其中一条圆锥曲线且内接另一条圆锥曲线，则此封闭多边形内接的圆锥曲线上每一个点都是满足这样(切、内外接)性质的封闭多边形的顶点，且所有满足此性质的封闭多边形的边数相同.

简明的彭赛列闭合定理表示为：一个三角形外接于一个圆，内切一个圆，则三角形的外接圆可以有无数个内接三角形满足其内切圆为上述……