文／徐志强

（作者单位：江苏省常州市第二十四中学天宁分校）

在古埃及，尼罗河年年洪水泛滥，洪水退后，便会出现不规则的新田。在当时，如何分地才能使得每块田都有合适的尺寸和形状呢？古埃及人用12个等距离的绳结，就能构造出边长为3、4、5 的直角三角形，然后又通过拼凑三角形，得到许多其他图形。

3、4、5 是满足勾股定理的3 个整数，被称为勾股三元数。在西方，勾股定理又叫作毕达哥拉斯定理，相传是由毕达哥拉斯发现的。毕达哥拉斯青年时期远赴埃及，甚至到印度，学到了很多知识，尤其是数学。对他而言，数字是神圣的，他相信整个宇宙都是以整数建立的。毕达哥拉斯认为，小数不属于自然界，任何事物都可以用整数解释。

但是，这个想法有个大问题，恰恰来自勾股定理本身。

例如，我们设正方形的边长是1，从一个角画一条对角线，就得到两个直角三角形，那么它的弦有多长呢？勾和股都是1，弦长就是。什么数自乘等于2 呢？这可没有整数解，只有一串复杂的小数。因此，这个简单的勾股定理例子表明了毕达哥拉斯的理念并不成立。

同学们现在大致能理解这个危机中的矛盾，但是数学史上却有很多问题让数学家花了大量的时间进行研究。

公元前370 年，这个矛盾被毕达哥拉斯学派的欧多克索斯通过给比例下新定义的方法解决了。按照“万物皆数”的理论，这个对角线是数，但是人们无法用数将它表示出来，也无法从几何角度解释“边长为1 的正方形的对角线”是什么。……