有名辉，孙 霞

一个含有复合核的Hilbert型不等式

有名辉，孙 霞

(浙江机电职业技术学院数学教研室，浙江杭州 310053)

通过引入恰当参数，构建一个与对数函数相关联并同时包含齐次和非齐次两种情形的核函数．借助实分析的相关技巧，建立一个含最佳常数因子的Hilbert型积分不等式．特别地，作为结论的应用，通过对参数赋予特殊值，文末还建立了若干推论．

Hilbert型不等式；复合核；Hölder不等式；最佳因子

近年来，研究者们通过对（1）式中的核函数进行参数化，并考虑其对应的离散情形、半离散情形、高维推广以及系数加强，构建了大量富有价值的新成果[3-12]．此外，通常还有与（1）式类似的含有对数函数的不等式：

（2）式通常称为Hilbert型不等式，其相关推广和类比可参见文献[13-17]．另外，通过构造一个指数函数和对数函数复合而成的核函数，刘琼等[18]建立了如下Hilbert型不等式：

本文将建立如下核函数与对数函数关联的Hilbert型不等式：

更一般地，我们将构造一个含对数函数的多参数积分核函数，并同时兼顾齐次和非齐次两种形式，借助统一的处理方法，建立（4）式的推广形式．

1 引 理

由分部积分，可得：

同理可得

把（8）式和（9）式的结果代入到（7）式，则可得（6）式．

2 主要结果

证明：由Hölder不等式[20]得：

类似的方法可得：

把（15）式及（16）式代入到（14）式，则

即

且有

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