杨旭升

(兰州文理学院 教育学院，甘肃 兰州 730000)

1956年，Calderón等[1]首次研究了奇异积分算子的Lp有界性.随后，Stein[2]、Weiss等[3]和Fefferman[4]分别探讨了奇异积分算子与Hardy-Littlewood极大算子、面积积分等的关系，并取得了许多重要成果，这些成果的涌现极大地推动了近代调和分析的发展.奇异积分理论的产生与发展，不仅在调和分析中有着重要的影响，而且它的理论与方法已广泛渗透和应用到偏微分方程等领域.如Byun 等[5]应用奇异积分算子的有界性等理论研究了非线性椭圆方程的相关问题.苗长兴等[6]研究了Littilewood-Paley 理论在流体动力学方程中的应用.近年来, 关于奇异积分算子的有界性研究引起了广大学者的广泛关注, 例如：2004年，Ding[7]等研究了变量核 Marcinkiewicz 积分算子的Lp(Rn)有界性；2016年，Colombo等[8]给出了一种特殊的奇异积分算子，并得到了该算子的有界性；2018年，Shao 和Tao[9]证明了变量核 Marcinkiewicz积分算子及其交换子在变指标 Morrey 空间上的有界性.更多相关文献可参见文献 [10-13].

受以上研究的启发, 本文探讨分数次Calderón-Zygmund奇异积分交换子在Lebesgue函数空间上的有界问题，并得到了分数次Calderón-Zygmund奇异积分算子与Lipschitz函数生成的交换子在Lebesgue函数空间上的 (Lp,Lp) 有界性和弱 (1,1) 有界性.

1 预备知识

先给出分数次 Calderón-Zygmund 奇异积分算子及其交换子的定义.

设f∈Lp(Rn)，1≤p≤∞，定义分数次 Calderón-Zygmund 奇异积分算子为

T(f)(x)=

(1)

设b∈Lipβ(Rn)，f∈Lp(Rn)，1≤p≤∞，定义高阶分数次 Calderón-Zygmund 奇异积分交换子为

[b(x)-b(y)]mdy.

(2)

定义1 称函数f(x)∈Lipβ(Rn)，如果满足

(3)

定义2 设f∈LLoc(Rn)是一个上Rn的任意局部可积函数，定义Hardy-Littlewood极大算子为

这里上确界取遍所有球(方体)B(x,r).

引理1 设S是一个度量空间，1≤p≤∞，f,g∈Lp(S), 则f+g∈Lp(S)，进而‖f+g‖Lp≤‖f‖Lp+‖g‖Lp成立.

本文中k∈Z, 令Bk=B(0,2k)={x∈Rn:|x|≤2k},Ck=BkBk-1，记Ck的特征函数为χk=χCk.

2 主要结果

证明设b∈Lipβ(Rn)，f∈Lp(Rn), 则有

[b(x)-b(y)]mdy≤

(4)

当 1

根据Lp(Rn)中范数的平移不变性，令x-y=x，于是有

从而有

C‖b‖Lipβ‖f‖Lp(Rn).

结合以上估计，定理1得证.

证明设b∈Lipβ(Rn)，f∈Lp(Rn), 当p=1时, 将

作用于(4), 则由引理2可得

y)|dxdy.

由范数的平移不变性，令x-y=x，有

综上，定理2证毕.

3 结语

本文利用极大函数估计与硬分析方法得到了当α满足一定条件时，高阶分数次奇异积分算子与Lipβ(Rn)函数b生成的交换子在Lebesgue空间上的Lp(Rn) 有界性和弱 (1,1) 有界性，从而推广了以往奇异积分算子和分数次积分算子的相关结果.该结果对于带光滑核的分数次积分算子及其交换子仍然成立.可为以后研究光滑核以及变量核奇异积分算子及其交换子的有界性质提供必要的理论依据，具有一定的理论参考价值和应用现实意义.