TTI介质弹性波近似解耦波动方程
2021-12-13梁锴孙上饶曹丹平印兴耀
梁锴， 孙上饶， 曹丹平， 印兴耀
中国石油大学(华东)地球科学与技术学院， 青岛 266580
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TTI介质弹性波频散关系方程可以通过求解Christoffel方程得到，利用不同的近似方法对其进行近似处理，并利用傅里叶逆变换将频率-波数域算子变换到时空域，可以得到对应的解耦波动方程.Alkhalifah和Tsvankin(1995)、Alkhalifah(1998, 2000)开创性地提出了声学假设近似方法，即将沿对称轴的横波速度近似视做零值，推导了一种简化的VTI介质弹性波频散关系方程，进而得到qP波方程.多种纯qP方程相继被提出(Klíe and Toro, 2001; Zhou et al., 2006; Hestholm, 2007; Du et al., 2008, 2010; Duveneck et al., 2008; Chu et al., 2011, 2013; Bloot et al., 2013; Schleicher and Costa, 2016; Li and Zhu, 2018; Xu et al., 2020)，但是声学假设条件下的波动方程存在两组共轭解，分别对应qP波和退化qSV波，而后者是不被期望的“干扰”波，在地震波数值模拟的过程中，随着迭代次数的增加，退化qSV波会产生严重的数值频散问题，特别在各向异性参数ε<δ的情况下，描述退化qSV波的解发散，误差随时间累计，导致数值解不稳定.Jin和Stovas(2018)定义一组新的参数用于描述VTI介质中退化qSV波运动学特征，并分析了其传播特征.为了能完全消除声学近似中的qSV波，Klíe和Toro(2001)在此基础上进行改进，消除了描述退化qSV波的一组解析解，得到纯qP波波动方程.此外也可以通过引入辅助变量，实现对VTI介质qP波方程的降阶处理，使其更容易实现(Zhou et al., 2006; Du et al., 2008; Chu et al., 2011).Liu等(2009)基于VTI介质声学近似方程，解耦得到了一种稳定的纯qP波和退化qSV波的波动方程，并应用于逆时偏移中；Fletcher等(2009)基于坐标旋转法推导了一般TTI介质qP波、qSV波的波动方程，并指出若人为设置TTI介质对称轴方向的横波速度足够大，则可以移除qSV的波面三角区，进而使波场能稳定传播；Chu等(2011)对Fletcher推导的TTI介质拟声波方程进行因式分解，利用一阶和高阶Taylor展开近似qP波方程，并指出采用一阶Taylor展开近似的qP波方程足以准确运用于大部分实际应用中；梁锴等(2009)从Thomsen弱各向异性近似和声学假设近似出发，对TTI介质弹性波波动方程进行了分解，导出TTI介质弱各向异性条件近似qP波和qSV波波动方程以及声学假设近似的qP波波动方程；黄翼坚等(2011)对VTI介质弹性波精确相速度表达式进行多项式近似，得到了VTI介质纯qP波方程；杨鹏等(2017)利用近似展开法，通过分解偏微分算子得到了TI介质纯qP波动方程；张庆朝等(2019)根据弱各向异性近似的假设，推导了任意空间取向TI介质弹性波相速度近似表达式，并进一步导出了qP波和qSV波的解耦波动方程，波场模拟结果显示该波动方程有着较好的稳定性；Chu等(2013)利用伪谱法对TTI介质拟声波方程(Chu et al., 2011)进行了数值模拟，误差分析表明一阶Taylor近似适合较弱的各向异性介质，强各向异性介质中需要采用更高阶的近似，以控制误差在允许范围内；杜启振等(2015)采用伪谱法和有限差分法相结合的混合法求解VTI介质纯qP方程，极大地提升了运算效率.
本文在TTI介质弹性波精确频散关系的基础上，利用近似的配方法(梁锴等，2018；孙上饶等，2021)，推导TTI介质qP波和qSV波近似频散关系，并将频率-波数域算子反变换到时-空域，导出了qP波和qSV波近似解耦的波动方程.使用两组模型参数对近似频散关系方程进行数值计算，得到了三维频散关系曲面和二维曲线，验证了近似频散关系的有效性.随后考察了近似式与精确式的差异项数值在不同各向异性强度下的变化情况，并分析了XOZ面内近似频散关系曲线的相对误差分布.最后，使用有限差分方法求解TTI介质纯qP波和纯qSV波近似波动方程，模拟了qP波和qSV波在均匀、层状及复杂TTI介质中的传播.数值模拟结果表明，在η<0和各向异性倾角变化较大的介质中，纯qP波和纯qSV波近似波动方程依然可以保持稳定.
