丁又也，张三军，尹亚玲

（华东师范大学 物理与电子科学学学院 物理实验教学中心，上海 200241）

“分光计的调节与三棱镜折射率的测量”是高校普通物理实验中的经典实验，该实验着重训练学生学会分光计的调整与使用，以及对基于实验得到的数据进行基础的处理，从而理性认识折射率与波长的关系.常见的分光计实验的分光器具为三棱镜，光源为低压汞灯光源.低压汞灯接近白色，各谱线强度相近，通过三棱镜色散后可以清晰地看到黄色、绿色、紫色的谱线.在该实验中，学生观察汞灯不同颜色的谱线，并从实验中求得各色谱线的折射率，定性分析折射率和波长的关系，直观形象，但是未深入探究原子谱线的产生机理［1］.

实际上，学生对于谱线特征的理论分析，更多是以碱金属原子谱线为案例.经典的《原子物理学》教材［2］，以锂原子为例介绍四类线系，以钠原子为例介绍量子缺，以钠原子3P→3S谱线为例介绍谱线的精细结构分裂，等等.在近代物理实验中，“钠原子光谱实验”是一个经典实验.其关于原子性质认识的实验设计具有重要的启发作用和借鉴意义.学生利用较为精密的仪器，通过软件接收并获得钠原子谱线的波长和能量数据，并以此计算钠原子各能级的量子缺，绘制原子能级，深入认识原子特性.该实验中，内插法的数据处理过程比较复杂，学生过去少有接触，因而不够熟悉，可以在普通物理实验课程中先行训练.

由上可知，分光计对于光谱的观察具有直观性，而钠原子光谱的实验设计有效培养了学生的理论分析和数据处理能力.有一些学者在实验的拓展上作了研究，例如邓莉拓展分光计实验，将测量数据拟合以柯西公式验证［3］；朱洪玉将汞灯替换为钠灯，从理论上分析了目视可得的钠原子光谱的谱线波长［4］；芦立娟、沈建尧测量并给出了钠原子谱线的线系归属［5］；蓝发超、唐宇给出了一种用Matlab计算钠原子量子缺的快速方法［6］.但是这些研究都没有尝试将两个实验的思路结合起来.如果在普通物理实验中，能有一种实验设计，既能直观地观察到原子谱线，又能对测量结果进行较为深入的分析，这对于学生理解知识、培养思维以及提高实验技能，都是大有裨益的.

基于以上想法，我们提出一个基于分光计的拓展实验，利用分光计观察和测量钠原子的光谱，并利用内插法计算其量子缺.该实验用普通物理实验的方法，通过计算，获得了近代物理实验相关物理量的数据，是实验设计上的一次创新，同时激发起学生的学习兴趣，提高其对于物理直观和物理图像的认识.

1 实验原理和思路

1.1 实验原理

1.1.1 谱线的产生和量子缺［2］

对于氢原子，由里德伯公式可得，氢原子谱线的波数:

其中n和n′为主量子数，该式表示氢原子外层电子由主量子数为n′的能级跃迁至n时，产生的光子的波数.RH为里德伯常量，其大小可由基本物理量算出.若用mA表示原子核质量，me表示电子质量，则

由于钠原子谱线主要由最外层电子的跃迁产生，此时可以看作类氢离子，因而钠原子谱线的波数为

其中Z是有效核电荷数.相应地

如果把波数计算公式的分母改写，则可以记作

其中的Δ即为某一能级的量子缺.

考虑到每个主量子数 n都有 n个轨道角量子数，记作 l，其取值为 0、1、2、…、n-1，对应的光谱学标记分别为 S、P、D、….跃迁选择定则要求跃迁前后Δl＝±1，因而对于钠原子而言，会有 nP→3S（主线系），nS→3P（锐线系），nD→3P（漫线系），nF→3D（基线系）等4种线系.一般而言不同的轨道角动量对应不同的量子缺数值，因而相应地会有 Δs、Δp、Δd、Δf等量子缺值.

1.1.2 最小偏向角和折射率［7］

均匀介质对于一定频率的光而言，有一定的折射率.当光通过三棱镜时会发生折射，入射光线和出射光线有一夹角δ.δ有一最小值，称为最小偏向角，记作 δmin.如图1所示，设三棱镜的顶角为 α，当入射和出射光线的夹角等于最小偏向角时，可以算出该频率对应的折射率

图1 三棱镜折射光路示意

因而只要测量出顶角和最小偏向角，即可得到折射率.由柯西色散公式，保留到4次项，有

只要代入已知波长对应的折射率，即可求解得到待定系数.进而代入未知波长光谱的折射率，可以反推出光的波长.

1.2 实验思路

本实验的核心问题有二，即钠原子光谱线的波长测量和基于波长的能级量子缺的计算.考虑到分光计无法直接测量波长，故可以利用柯西公式过渡.首先，利用分光计测量三棱镜的顶角和汞灯黄、绿、紫谱线的最小偏向角，计算谱线的折射率；其次，通过数据拟合，得到保留4次项的柯西公式；最后，利用钠灯测量出的最小偏向角计算折射率，代入公式反求其波长.这便完成了波长的测量.在波长测量的基础上，通过内插法数据处理，可以得到钠原子的能级量子缺.

2 实验内容和数据

2.1 测量三棱镜的顶角

利用“二分之一调节法”［8］调节好分光计后，利用自准直法［3］测量三棱镜的顶角.旋转望远镜，读出其分别垂直于三棱镜两个面时的表盘示数，获得数据如表1.

表1 三棱镜两个面位置的测量

三棱镜的顶角

2.2 汞光谱折射率的测定

开启汞灯，恰当地摆放三棱镜的位置，使靠近望远镜的一面尽量与汞灯的光路垂直［3］.仔细调节望远镜的位置，直至观察到视野中有色散谱线，其中有两条黄色、一条绿色、一条紫色谱线，按从左向右的顺序展开.各谱线强度视觉上相近.选定一条谱线后，转动小平台，使得视野中该谱线先向一侧移动、又反向移动，反复几次找到转折点，转折处对应的角度即为最小偏向角.测量数据在表2—表6中.

表2 汞灯狭缝位置的读数

表3 黄色谱线（579.07 nm）位置的读数

表4 黄色谱线（576.96 nm）位置的读数

表5 绿色谱线（546.07 nm）位置的读数

表6 紫色谱线（435.83 nm）位置的读数

由

可以算出最小偏向角，进而算出折射率.利用平均值的计算结果，如表7所示.

表7 汞灯谱线波长和折射率的关系

依据柯西公式，拟合出结果如图2所示.拟合式为

图2 折射率-波长拟合示意图

2.3 钠光谱的测定

依照上述方法，将汞灯换为钠灯，进行狭缝和谱线的测量.可以看见红色、黄色、绿色三色的谱线.由于钠灯中黄双线强度较大，在视野中难以分辨，故取黄线的中部代替两根黄色谱线分别测量.测量结果如表8—表11.

表8 钠灯狭缝位置的读数

表9 红色谱线位置的读数

表10 黄色谱线位置的读数

表11 绿色谱线位置的读数

类似地，可以算出最小偏向角，进而算出折射率.再将折射率代入柯西公式，即可解出对应的波长，结果见表12.

表12 钠灯谱线折射率和波长的关系

将求算出的波长与理论分析得到的谱线值对照可知［5］，红色为 5S→3P的谱线，属于锐线系；黄色为3P→3S的谱线，属于主线系；绿色为6S→3P的谱线，也属于锐线系.

3 钠原子量子缺的计算

3.1 钠原子s能级的量子缺

考虑每一组线系中相邻谱线的波数差

为计算方便起见，可以令

其中m为整数，a为正的小数.这样

为了培养学生的数据处理能力，我们选用内插法，通过对里德伯表的查询，获得未知量m和a.内插法的基本思路如下:依据里德伯表的标准［9］，这里取RNa＝109 737.31 cm-1.求出的波数差 Δ介于表中波数差Δ和Δ之间，可以从表中读出这两个波数差对应的m值，记表中两个波数差对应的a值分别为a1和a2，则由内插法可得实际的a值应当为

然后依据代换关系，可以计算出量子缺:

利用锐线系的两条谱线即可算出s能级的量子缺.经过计算，可得Δν˜＝3 158.10 cm-1.从表中可知，对应“34”，即 m＝3；其对应两侧 a1＝0.66，a2＝0.64，Δν˜1＝3 138.66 cm-1，Δν˜2＝3 185.27 cm-1，于是由公式可得 a＝0.652，因此 Δs＝n-（m+a）＝ 1.348.

3.2 钠原子p能级的量子缺

由于没有多组主线系的谱线数据，所以不能用上述方法计算p能级的量子缺.但是可以从线系限的角度考虑.考虑到锐线系固定项

可以直接利用已知的光谱数据求算，将该数值代入里德伯表，按内插法可以求出p能级的量子缺.

4 分析讨论

由拟合结果可知，对于参数 A的拟合较好，但是参数B的不确定度较大.由作图可知，汞的黄双线测量和拟合结果偏差较多，主要是两根黄双线较为接近、不易分辨，且目镜存在视差，导致测量不够精确.

依照测量出的最小偏向角反求钠光的波长，并求算其量子缺的结果，与文献［6］中的精确计算值符合得较好，说明该方法是可以正确得到钠原子的谱线数据和量子缺的.由计算可知，s能级的量子缺比p能级要大，这可以用轨道贯穿和实极化解释.如果考虑经典的电子轨道，随着角量子数l的增大，轨道越接近正圆，也即越接近玻尔模型，有效电荷 Z较小，这样量子缺就较小；相反，如果l较小，则轨道偏心率较大，可能会穿过原子实，此时受到原子实的吸引会比外侧轨道更强，因而有效电荷 Z更多，这样量子缺就更大.

当然，由于本实验的观察和测量手段限制，只能得到钠原子光谱可见光区的有限三条谱线，对于量子缺的计算是比较粗略的.但该实验进一步强化了学生对于分光计的使用，同时介绍并训练了内插法的处理思路，为近代物理实验中钠原子光谱的精细实验打下了基础.

5 结束语

本实验将普通物理和近代物理两个经典的实验相结合，从定性直观的角度观察汞原子和钠原子光谱，从定量理性的角度导出折射率的公式、求出钠原子谱线的波长，进而利用内插法计算钠原子谱线的波长和量子缺.在整个过程中，既有实验的操作，又有仔细的数据分析，达到了实验创新训练的目的.基于这样的思路，还可设计其他结合拓展实验，在普通物理实验中有近代物理实验的思维，让近代物理的理论学习直接指向可见、可做的普通物理实验.