王荣忠 高秋英,2 王得军

1. 青岛海尔洗衣机有限公司，山东省青岛市 266100；2. 数字化家电国家重点实验室，山东省青岛市 266100

0 前言

在控制器的研发过程中，经常需要对实验获得的数据进行曲线拟合处理，以便找到变量之间的关系，目前较为常用的方法是最小二乘法，而其中多项式拟合应用最为广泛。在实际计算中，通过对偏差的平方和对每个系数求偏导数，使偏导数为零来建立方程组，经过一系列推导，得到系数公式，然后求得系数[1]。在多项式的系数求解计算中会有大量的运算，而控制器通常会使用单片机作为采集和运算单元，其运算能力不足，所以对运算过程进行简化是非常有必要的[2]。本文结合最小二乘法多项式拟合的算法原理，在自变量为自然数序列时，对应用较为广泛的多项式曲线拟合进行了公式推导，得出一种简化算法，并举出实例说明了其应用方法。

1 最小二乘法拟合原理

设有一组实验数据为(xi,yi)i=1, 2,…,n，其拟合函数为下式：

其中，a0,a1, …,an是n+1个待定参数，y是与x有一定依赖关系的变量，根据最小二乘法原理，则应使

对函数S求偏导数，并令其为0，即可得：

若对于任意函数h(x)，g(x)引入记号：即：

其中，f为yi与xi依赖关系式，写成矩阵形式为[3]：

上式称为正规方程组。当φ0(x),φ1(x),…,φn(x)线性无关时，方程组有唯一解。取φ0(x)=1,φ1(x)=x,…,φn(x)=xn，相应的方程组为[4-5]：

从中可以解出a0,a1,…,an。

2 简化算法公式推导

设有一组实验数据(xi,yi)i=1, 2,…,n，其中，x为一组自然数序列，取值从1到n，y为实测值，设该组数据的一次曲线拟合函数为[4]：

由上述式（6）可得出其拟合公式为：