毕亭亭

问题是数学的心脏，解题作为数学教育的关键环节，在解题教学时，应注重传授学生解决问题的方法，用解题策略打开思维的大门，不要使学生沉溺在“题海”中，题千变万化，是“量”的变化，但是问题的“质”却没有变化，量变质不变，教学应紧紧抓住问题的“质”，问起于题，疑源于思，要逐步培养学生敢于、勇于、善于提出问题的意识，从数学角度不断探索、发现问题的“质”.

在近年的高考题或模拟题中，经常会出现解三角形的最值问题，此类问题与其他知识联系密切，学生在面对这类问题时不免会感到困惑，如果学生头脑中储存着一套科学的解题方法，领悟和掌握以数学知识为载体的数学思想方法，注意分析问题的内在的结构，具备解决一类问题的能力，那么学生就会在解题时感到轻松、愉悦，与片面强调“问题—算法”的传统做法相比而言更强调思维的重要性.

一、利用均值不等式求最值

在求解三角形最值问题时，如果利用正弦定理、余弦定理进行边角互化之后出现包含形如“ab”、“a2+b2”或“λyx+μxy”的形式，则可选择均值不等式求解，借助重要不等式a2+b2≥2ab或基本不等式λyx+μxy≥2λμ，可以求出ab积的最大值，a2+b2和的最小值，或λyx+μxy的最小值，注意应用时需要考虑“一正，二定，三相等”的条件.

例1 （2014江苏卷，理数）若△ABC的内角满足sinA+2sinB=2sinC，求cosC的最小值.

思路探求 这道题考察正弦定理、余弦定理的边角互化及基本不等式求最值的简单应用，将已知sinA+2sinB=2sinC利用正弦定理转化为边的关系a+2b=2c得到关于c的关系，将c代入到cosC=a2+b2-c22ab中，整理得到cosC=3a2+2b2-22ab8ab其中有a2+b2，ab的形式，利用基本不等式得到3a2+2b2≥26ab，由于ab≠0，约分得到cosC的最小值6-24.

解 根据正弦定理将已知转化为a+2b=2c，又cosC=a2+b2-c22ab=a2+b2-14（a+2b）22ab=

3a2+2b2-22ab8ab≥26ab-22ab8ab=6-24，当且仅当3a=2b时取等号，所以cosC的最小值为6-24.

方法点睛 高考题中基本不等式常常与函数、数列、向量、解三角形、导数等知识建立联系综合考察，用于解决最值或范围的问题，恰当地运用可以使求解过程变得简洁，利用不等式求最值可以灵活地利用一些解题技巧，如凑项、凑系数、分离、换元、整体代换等.

二、利用函数求最值

数学中习惯“化繁为简”将复杂的问题变得简单，如果解题时出现多个变量通常先转化为一个变量得到某种类型的函数，由函数的图像或性质得到最值.函数是高中的核心概念之一，教学中应建立以函数为“核”的知识群，发挥函数的强大生长力，建立以函数为“核”的辐射状知识网络，会用函数的思想分析问题、解决问题.

例2 （2016年江苏卷）在锐角△ABC中，若sinA=2sinBsinC，求tanAtanBtanC的最小值.

思路探求 尝试从结论入手建立条件中关于正切的关系，把sinA=2sinBsinC变为正切就要除以余弦，利用三角形内角和定理A+B+C=π得sinA=sin（B+C）=2sinBsinC，同除以cosBcosC，得

到1tanB+1tanC=2，整理得tanB+tanC=2tanBtanC，由于结论中有三个未知量，为了减少未知量可以把tanA用tanBtanC来表示，得到函数解析，再利用配方法求出最值.

解 tanAtanBtanC=-tanB+tanC1-tanBtanC·tanBtanC=-2（tanBtanC）21-tanBtanC，令tanBtanC=x，已知三角形为锐角三角形有tanAtanBtanC>0，则1-tanBtanC<0，即x>1，得到tanAtanBtanC=2x2x-1=21x-1x2=2-（1x-12）2+14≥8，當且仅当1x=12，x=2，即tanA=4，tanB=2+2，tanC=2-2或tanB=2-2，tanC=2+2时等号成立.

方法点睛 通过减少未知量找到了函数关系，构建了函数模型，对于函数可以利用基本不等式、配方法、导数法求出函数的最值，同时要考虑定义域，值得思考的是，上述函数方法的关键在于“换元”，这启示利用函数求最值问题时要灵活“换元”，将解析式转变为所熟悉的方向来求解.

三、利用解析法求最值

对于有些求最值的问题，可以利用函数的方法，入手简单但有时计算量却较大，对学生的计算能力提出不小的挑战.如果三角形有一边为定值，而另外两边存在某种数量关系，这种数量关系可以是比例、数量积或边的平方和或差等等，都可以由解析法来探求动点的轨迹，由几何图形的性质求得三角形面积的最大值.解析法具体来说是“两化”，图形问题代数化，从而转化到代数形式，通过代数计算，得到代数结果，然后代数结果几何化，得到几何结论，帮助问题解决.

例3 （2008年江苏）在△ABC中，AB=2，AC=2BC，求△ABC面积的最大值.

思路探求 这一问题通常利用余弦定理来处理条件中的数量关系，将三角形面积表示为某一边为自变量的函数，再利用配方法求最值.

解法1 设BC=x，则AC=2x，由余弦定理得

cosA=2x2+4-x242x=x2+442x，

所以sinA=1-（x2+442x）2=-x4+24x2-1632x2，

所以S=12·22x·-x4+24x2-1632x2=14·-（x2-12）2+128，当x2=12即x=23时，面积取得最大值为22.

可见上述的计算量较大，若换个角度考虑AB是定值，那么面积的最大值就转化为边AB上的高h的最大值，可以尝试判断满足条件AC=2BC的动点C的运动轨迹，建立平面直角坐标系，根据等式关系得到圆的方程，由圆的几何特征找到高的最大值，求得面积的最大值.

解法2 建立以AB所在直线为x轴，AB的中点为原点的平面直角坐标系，由AB=2，得到A（-1，0），B（1，0），设C（x，y），由AC=2BC得（x+1）2+y2=2·（x-1）2+y2，x≠0，化简得：（x-3）2+y2=8，（x≠0），所以点C在圆（x-3）2+y2=8上运动（不含与x轴的两交点），由图1可知AB边上高的最大值即为圆的半径22，故三角形△ABC面积的最大值S=12·AB·h≤12·2·22=22.

图1

方法点睛 若将所列问题进行一般化，如果平面上给定两定点A，B，动点P满足PA=λPB（λ>0且λ≠1），则P点的轨迹是一个圆心在直线AB上的圆，该圆称为阿波罗尼斯圆.阿波罗尼斯圆来源于高中课本（求曲线方程），而例3以三角形为包装，实际上考察的却是阿波罗尼斯圆的知识，这说明教材是教学的有效资源，在新课程改革之际教师应勿忘“根本”，守住“初心”，更好地开发、利用教材，用新课改理念对已有教材进行整合，符合学生的认知发展，才能更好地促进学生能力的不断提升.

四、利用向量求最值

面对一些求边长的最值问题，可以尝试从向量的角度进行运算，因为三角形边的长度实际上是向量的模长，在正弦定理、余弦定理证明时就使用过向量法将几何问题代数化，并且平面向量的数量积将模长和角联系起来，在解三角形问题时，经常会用数量积进行边角之间的相互表示.

例4 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，D 为AC边的中点，且B=60°，a+c=4，求线段BD长的最小值.

思路探求 如图2所示，因为D为AC边的中点，则

图2

A，C，D三点共线，由于边a，c已知，根据平行四边形法则，可以把BA，BC作为基底表示出BD=12（BA+BC），想要得到向量的模长，则需将等式两边平方转化为向量的模和数量积的运算，利用均值不等式求出BD的最小值.

解 因为D为AC边的中点，所以BD=12（BA+BC），从而BD2=14（BA+BC）2=14（BA2+2BA·BC+BC2）=14（c2+2accosB+a2）=14[（a+c）2-ac]=4-14ac≥4-14（a+c2）2=3.

当且仅当a=c=2时取等号，所以线段BD长的最小值为3.

方法点睛 向量作为沟通代数与几何的工具，提高了解题效率，但学生很少从利用向量的角度分析问题、解决问题，这就说明有一部分学生没有明确学习向量的目的，认为原来的知识已经足够了，又或者新旧知识之间没有很好的进行融合，这些都启示着我们在教学中应该将所学知识进行纵横联系，发挥向量在解决问题时的工具价值，体现向量解题的简洁美.

达尔文说“世界上最有价值的知识就是关于方法的知识.避开问题的最佳途径，偏是运用方法将它解决”.思想方法的正确运用才能有效解决问题，可见思想方法的重要，对学生来说思想方法的渗透要“润物细无声”，体现在数学教育的各个方面，教师应以“思维”为中心，以“观察”为主线，以“问题”为载体，以“能力”为目标，在教学中结合高考题或典型例题，暴露解决问题的思维过程，引发学生思考，合理创设情境，引领学生探究，观察对象特征，把握问题的本质，让学生自己感受、体验、思考、反思和总结，把头脑中的知识化作钥匙去开启未来知识宝库的大门，《普通高中数学课程标准（2017年版）》指出：“教育不仅要重视结果，還要重视过程，不仅要重视学会，还要重视会学”，这些都有赖于学生数学思想方法、思维能力的提升，从而核心素养才能得到培养和达成.

（收稿日期：2021-09-12）