刘英英

摘要：对2021年北京中考压轴题从试题结构、知识能力、素材题源、解法探究、变式拓展等角度进行详细分析，提出增强单元意识、增长数学见识、技术赋能的教学启示，指向学科育人.

关键词：几何直观 数形结合单元数学见识

1 试题呈现

（2021年北京市中考第28题）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1.对于点A和线段BC，给出如下定义：若将线段BC绕点A旋转可以得到⊙O的弦B′C′（B′，C′分别是B，C的对应点），则称线段BC是⊙O的以点A为中心的“关联线段”.

（2）△ABC是边长为1的等边三角形，点A（0，t），其中t≠0.若BC是⊙O的以点A为中心的“关联线段”，求t的值;

（3）在△ABC中，AB=1，AC=2.若BC是⊙O的以点A为中心的“关联线段”，直接写出OA的最小值和最大值，以及相应的BC长.

2 试题简析

新定义“关联线段”既熟悉又陌生，旋转和圆已熟知但课本或其他素材从未将二者相结合，也不是高中的某个知识点;单独利用旋转或圆的知识去解决问题，已经积累了一定的解题经验和解题模型，但二者结合背景下的新定义题，不是简单的知识综合应用，而是现学现用，需要独立自主学习，调取数学学习经验，灵活应变解决问题的能力，压轴题指向能力立意评价.

知识层面分析：“把一个平面图形绕平面内某一点O转动一个角度，叫做图形的旋转”“平面内，线段OA绕它固定的端点O旋转一周，另一个端点A形成的图形叫做圆”，旋转是一个运动过程，圆是这个运动的结果，圆是特殊的旋转，旋转与圆研究的是动点与定点之间的关系——位置关系和数量关系.点与点、点与直线、点与形的关系是几何核心内容.能力层面分析：新定义、新背景下解决问题，考查学生数学阅读、几何直观、逻辑推理和数学运算能力，指向数学思考，引发数学创新.对学生而言，在自主学习的过程中独立思考、更学会思考，最终形成自己的学科思维，探究知识的过程和获得的结果都属于创新.试题没有知识前置的痕迹，无需解题技巧和解题模型，更没有竞赛的影子，但为高中后续认识和理解点与平面、直线与平面、平面与平面位置关系奠定基础，分析问题、解决问题的能力一以贯之.高中课程突出几何直观与代数运算的融合，在原有知識结构不变的前提下，将核心知识相关联，以数观形，以形显数，数形双向流动，特殊一般相结合，从概念出发突出学科通法.试题3问低起点高定位，为不同基础和不同能力的考生搭建了思维的平台，实现了试题的分层评价功能.题源素材分析：中考试题选材常常以教材为“源”，教材章引言、例习题、图形等是素材.北师大版八年级下册第三章《图形的平移与旋转》3.4随堂练习，九年级下册第三章《圆》单元复习题18、19均有这道中考题的影子.八年级下册第三章《图形的平移与旋转》3.4随堂练习：1.如图，四边形ABCD经过旋转后与四边形ADEF重合.（1）指出这一旋转的旋转中心和旋转角;（2）写出图中相等的线段和相等的角.（第1题） （第2题）2.如图，你能绕点O旋转，使得线段AB与线段CD重合吗？为什么？九年级下册第三章《圆》单元复习题18、19：18.已知A为⊙O上的一点，⊙O的半径为1，⊙O所在的平面上另有一点P.（1）如果PA=5，那么点P与⊙O有怎样的位置关系？（2）如果PA=3，那么点P与⊙O有怎样的位置关系？（第19题）19.如图，等边三角形OBC的边长为10，点P沿O→B→C→O的方面运动，⊙P的半径为3，⊙P运动一圈与△OBC的边相切多少次？点P分别在什么位置？

人教版九年级上册第二十四章《圆》小结回顾与思考设问：“圆的位置及大小由哪些要素确定？如何从点的集合角度理解圆的概念”，问题引领学生用运动变化的视角认识圆.“关联线段”源自教材又超越教材，是已有知识的延伸与生长，点线是种子，图形（网格、平面直角坐标系）是载体，几何直观是方法.面对新问题，在没有模型可类比、没有经验可借鉴时，就要回归研究对象的本体，教材为中考试题提供经典素材.3 解法探究

考查学生数学阅读理解能力，将文字描述转化为图形和符号语言，读懂“关联线段”条件、结论、操作规则，用数学工具“做”即可.用图形和数量去表现概念的物理属性，是从“抽象到具体”的实践过程，三种语言相互转换，多形式演绎表现是概念学习的重要环节.解法1 以“形”引思：以A为圆心，分别以AB1，AC1为半径做圆，依据概念圆环与⊙O有交点，交点构成的弦长与B1C1相等时，即为关联线段.B2C2、B3C3同理可得，也可以构成图形△AB1C1，通过整体旋转进行判断，两种解法的不同在于看点、看形，共性是旋转，“弦”在心中数相随.解法2 以“数”明思：点A到⊙O的最小距离为2-1，最大距离2+1，依据新定义，对应点到旋转中心A的距离范围在2-1

第（2）问 点A从位置确定到y轴动点，旋转中心从单纯的点到图形等边三角形顶点，条件从约束到半约束，从点线关联进入形关联，图形渐渐“丰满”体现概念的“骨干”，等边三角形边长为1与⊙O半径相同，点A在y轴上，可能的位置“正负半轴”，与圆相结合，点A在⊙O上、⊙O内、⊙O外分类讨论自然而来.

先定形再分类，直观促逻辑，逻辑引推理，画图是关键.

解法2 转译显形，化动为静.第（2）问动态问题可以通过“转译”问题实现化动为静.例如：“直角坐标系中半径为1的⊙O，弦B′C′=1，y轴上点A（A不在原点），构造等边△AB′C′，求A的坐标”;或者“如图，直角坐标系中半径为1的⊙O，点A在y轴上，⊙A与⊙O半径相等，两圆公共弦B′C′=1，求A的坐标”.学生遇到动点问题，难免产生畏难心理，语言的“转译”让问题变的简单，第（2）问两种解法实质是相同的，着眼点在“旋转得到⊙O的弦”，此时研究重心是点与形的关系.

第（3）问 第（3）问的解答分两步进行，先确定OA的最值，再计算BC长.

第一步，确定OA的最值.

解法1 条件中AB=1，AC=2，隐含以A为圆心的同心圆，点A从y轴上的动点，变为平面直角坐标系内的点，BC由确定到不确定，三角形由特殊到一般动态呈现，综合性逐步上升指向数学思维，关注解题“通法”.先画图找到最值点，以图启思，用图助思，实现从直觉到直观.延续第（2）问“转译”，回归关联线段定义，“旋转得到⊙O的弦”转化为同心圆⊙A与⊙O的位置关系，两圆位置关系由圆心距与两圆半径数量关系确定，即AO长度.两圆相切、相交、相离，OA最值即为边界值，数定形实现了一般到特殊，如图3.

此时，两圆之间的关系并不受点A位置的影响，所以也可以取A点为轴上点，则题目变的更容易理解.第（1）问的启示也可以从圆环与⊙O的位置关系思考，最终转化到圆与圆的位置关系，其实质相同.设点A（t，0），因为大⊙A半径为2，小⊙A半径为1，⊙O半径为1，所以当1

第（3）问变式2：如果将题中“线段BC绕点A旋转可以得到⊙O的弦B′C′”变为“关于以直线l对称可以得到⊙O的弦B′C′”你还可以提出哪些问题;

概念类比，指向知识网络建构，揭示内在联系，理解本质辨异同，实现从概念到关系到结构.策略类比，指向解法迁移，延伸经验强化学法，通过“变”渗透推理方法、提升推理能力.

5 教学启示

这道中考压轴题连续三问，起于概念又落于概念，旋转中心从定点到区域点到任意点，最终都转化为图形基本元素点与点之间的关系“数量定位置”.刷题留下的模型短暂而有限，碎片的“技”不足以应对千变万化的“形”，有模型还要破定势.图形是工具，让直观促直觉，让直觉引推理，由表及里协同发展，实现形促数定、数引形分，思想与方法不断内化.解题的过程即是思维爬坡的过程，考查的是思维递进的深度，引导的是教学向核心处延伸，考查的是学生“真实学力”，引导的是教学中的视角，由题、由解题、由师生解题引发对教学的深思.

5.1 见微有为，知著寻脉，构建单元意识

平面几何研究基本元素及元素之间的关系，点就是基本元素，关系就在概念中，从概念出发寻找生长点、延伸点，图形变换、结构分析、数量刻画、逻辑推理从“直观”开始，见微有为动中找定从“看图”做起.教学中带领学生有意识的看——“看元素、看位置、看结构、看边界”，有意识的想——“想关系、想数量、想特殊、想变换”，从基本元素“点、线、角”到基本位置“平行、相交”，从基本图形到基本图形之间的关系——全等、相似、图形变换等，所有图形的变化生长都围绕“点、线、角”，着力点在“数与形”，策略在“特殊与一般”，渗透用概念思考问题和解决问题的意识，会看图更会思图.显性的素材隐性的结构，从系统的视角寻找生长的脉络，从单元到课时系统化设计目标达成，从细究“点”转向探寻“脉”，见树更见森林，于经验处迁移、于结论处生长、于“内核”处联结，构建单元意识，知著寻脉让学习自然发生.

5.2 析辩养智，思行育识，增长数学见识

新定义题以中考试题呈现，考查学生真实学力和解决问题的能力.解题即解决问题，当从A点切入不能解决问题时，如何转换视角，转化思维，“化”的能力对学生及我们一线老师提出更高要求.学数学不仅是知识更是学习数学的思维方式，解题、析题、赏题，思维随题而纵深发展，通过解题去体会命题人的智慧，析辩养智.知识易得见识难求，相同情景的近迁移到陌生环境的远迁移，逐层抽象中核心要素关联转化，运用思维规律去解决问题，聚焦通性通法.从老师的解题到解题教学，提升学生的学习效能，从核心知识的精准把握到指向核心素养学科育人，从“知其然、知其所以然”到“知何由以知其所以然”到“然可再然”，思行育“识”，育知识更育胆识.

5.3 技术赋能，赓续力量，识变促应变

移动技术、“互联网+”师生共享技术红利，技术的浸润让教学环境更丰富，教師与学生已经将信息技术视为学科教学的核心要素之一.用技术变革教学结构，用技术优化教学活动，用技术提升教学质量，技术与学科深度融合，构建新型教学生态环境，”互联网+教育+数学+画板”让抽象的数学内容更加灵动，技术赋能让数学可操作探究、可大胆实验，实现动静直观、可视呈现，从“随意操作→规律发现→有序思考→自我建构”，用技术的终极目的是“不用”，迁移内化培养真实学力.新时代下教学有“道”有“理”还要有“术”，晰“道”学科价值、确“理”科学方法、借“术”赓续力量，识变应变.

参考文献

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[2]娜仁格日乐.《数学学科素养与初中数学内容之间的关系》.[J]东北师大学报：哲学社会科学版，2019.6.118-124.

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