连楚琪，胡福良

（1.浙江大学数学科学学院数学与应用数学1701 班，浙江 杭州 310058；2.浙江大学动物科学学院，浙江 杭州 310058）

1 从“蜂窝猜想” 谈起

蜜蜂通常被誉为“天才的建筑师”“天才的数学家”。早在公元4 世纪，古希腊数学家贝波司就提出 “蜂窝猜想”，即人们所见到的截面呈六边形的蜂窝，是蜜蜂采用最少量的蜂蜡建造成的。“蜂窝猜想” 在不考虑生物与环境统一性的情况下，可以简单地用数学语言表述为：蜂巢结构是在容积相同的情况下，建筑用材面积最小的结构；或者说在建筑用材面积最小的情况下，容积最大的结构。

在追寻“蜂窝猜想” 的后续发展之前，我们需要先对蜂窝结构有具体的了解。在平时的学习和生活中，我们更多看到的是蜂窝的平面图，对蜂窝结构的认识也停留在紧密结合的等六边形，如图1 和图2 所示。的确，除去蜂窝与六棱柱相同的柱身，蜂窝的外端是广为人知的等六边形平面；而蜂窝的里端则是由3 个菱形拼接而成的立体图形，如图3 所示。

图1 蜂巢俯视图

图2 蜂巢侧视图

图3 蜂房立体结构

由蜂窝结构的里端和外端，衍生出 “蜂窝猜想” 后续发展的2 个方向。

对于外端等六边形的 “蜂窝猜想” 探索，历史悠久。亚历山大时期的Pappus 在他的第五本书中，简单地将铺陈平面的等六边形与三角形和正方形进行比较，得出如果用同样数量的材料建造这些图形，六边形将容纳更多的蜂蜜。1943 年，L. Fejes T’oth 扩展了Pappus 的结果，在细胞凸性假设下证明了 “蜂巢猜想”；并且预测在没有细胞凸性假设的前提下，“‘蜂窝猜想’的证明将涉及相当大的困难”。……