□鲍善军 朱曙光

数学教育家米山国藏曾说过：“学生们所学到的数学知识，在进入社会后，几乎没有什么机会应用……然而不管他们从事什么职业，那种铭刻于头脑中的数学精神和数学思想，却长期地在他们的生活和工作中发挥着作用。”教学中，这些相关的数学精神和思想方法是否真正得到落实，本质上是学生对数学学习的深度理解及数学思维水平进阶的具体反映。

依据SOLO分类理论，根据可观察的学习结果，可以将学生数学学习的思维层次划分如下（如图1）。

图1

实践表明，“一题一课”的教学有助于促进学生的思维由低向高逐步进阶。所谓“一题一课”，是指通过对一个主题或一组习题的深入研究，科学、合理、有序地组织学生展开相关的数学探究活动。借助这“一题”，促进学生对知识之间关联性的理解，实现学一题、透一点、通一类、达一片的教学目标。“一题一课”系统性地通过多维构建、思维转换，促使学生的思维由“单点结构”走向“多点结构”水平；通过一题多解、化隐为显，促使学生的思维从“多点结构”迈向“关联结构”水平；通过横向拓宽、纵向深入，促使学生的思维由“关联结构”跃至“抽象扩展”水平。教学中，引领学生一次次感悟提升，逐步发展高阶思维水平，促进数学核心素养的自然生长。

一、路径整合：思维水平由“单点结构”走向“多点结构”

在问题解决过程中，停留在前结构、单点结构思维水平的学生想要“跳一跳”达到多点结构思维水平，需要找到多个解决问题的思路。引导学生从不同的角度思考问题，借助直观认识事物之间的共同属性和联系，可以让学生的理解由单点结构水平提升至多点结构水平。

（一）多维构建，探寻路径

教学中，教师应调动学生的主观能动性，放手让学生自主进行互动式的探究，探寻多种解决问题的途径，并适时引导学生将这些解题思路进行整合，促其达成自主构建的方式，有助于学生的思维由“单点结构”水平提升为“多点结构”水平。

【案例1】奇妙的三角形：如图2，两条虚线互相平行。你能找出面积相等的三角形吗？你还能画出和它们面积相等的三角形吗？

图2

（1）任务一：以BC为底，画出与△ABC面积相等的三角形，建构多样三角形。

建构：画出与△ABC面积相等的三角形。

讨论：画出的三角形是否面积都相等？怎么画面积相等的三角形比较方便？

小结：同底等高的三角形面积相等，且有无数个。

（2）任务二：画出与这两个三角形面积之和相等的一个大三角形，深化方法应用。

交流：你是怎么想的？

展示：全班交流想法（如图3）。

图3

比较：这三种方法有什么异同？

小结：底边固定，左右移动顶点，顶点重合。

（3）任务三：求阴影部分的面积，强化等积变形。

迁移：将三角形的顶点重合在一起，转化成与它们面积之和相等的一个大三角形（如图4）。

图4

拓展：如图5，将三角形②的右上顶点往下拉，三角形①和②转化成高为3cm，底为12cm的三角形。

图5

关联：我们是怎么解决问题的？这两题的解决方法有什么共同之处？

本案例通过一组习题，引导学生深入理解等积变形，由此找到解决问题的多种思路，继而完成对思路的整合，在多维建构和关联沟通中，学生的思维从“单点结构”水平提升为“多点结构”水平。

（二）思维转换，优化路径

当学生的思维遇到障碍停滞不前时，引导学生从另一个角度剖析问题，突破思维定式，探索问题本质，优化解决问题的路径，同样也可以促进学生的思维从“单点结构”水平提升为“多点结构”水平。

【案例2】怎么算积最大：用2、3、4、5这四个数字组成□□×□□，要使乘积最大，你认为是哪两个数字组合？

（1）转变思维，从“精算”到“简算”。

交流：共有多少种算式的组合方式？哪些算式容易判断积的大小，哪些不容易判断？

比较：53×42和52×43的大小。

反馈：将它们都算出来。

追问：还有更简单的比较方法吗？

明理：如图6，53×42＝52×42+42，52×43＝52×42+52，42＜52，所以53×42＜52×43。

图6

（2）路径优化，由“形”通“数”。

提示：①想一想：联想所学知识；②画一画：与图形相结合；③算一算：看图形列算式。

优化：利用图形明晰计算结构，再根据图形列出算式。

此题融入了排列组合、分类、算理理解等多项内容。比较53×42和52×43积的大小时，教师引导学生从数形结合和拆分计算两条不同路径理解两个算式的差异，再进行比较。这个过程中，学生能够主动转换角度来思考和解决问题，他们通过调动多种知识联动解决问题，达到对算式意义的深度理解，思维在转换中实现了进阶。

二、关联沟通：思维水平由“多点结构”迈向“关联结构”

处于多点结构思维水平的学生，能找到解决问题的多种途径，却找不到方法之间的关联。要使思维从多点结构水平逐步迈向关联结构水平，可以进行如下尝试：一是从多种方法中抽象出解题模型；二是对解题方法进行结构性的一一对应和深度关联，实现方法的融通和归一，提高解决问题的能力。

（一）一题多解，模型构建

对于综合性的问题，可放手让学生自主探究，探寻多种解决问题的策略。教师只需引导学生对这些方法进行关联和概括即可，学生会发现这些方法的共同特征，构建解题的模型。

【案例3】长方体和正方体体积计算练习：计算立体图形的体积（如图7）。

图7

（1）计算图形体积。

呈现：一个“L”形平面图形（图7的底面）。

想象：将这个“L”形多边形向上平移6厘米扫过的区域是一个什么图形？

计算：这个立体图形的体积是多少？你能用不同的方法解决吗？

交流：相互交流，理解并判断同伴的方法。

（2）关联计算方法。

展示：方法汇总，厘清思路（如图8）。

图8

沟通：这些方法有什么相同之处？（6表示图形的高，前面的算式都表示图形的底面积）

完善：立体图形体积的计算其实就是“底面积×高”。

（3）建立柱体模型。

设疑：可以把这个立体图形的前面（长方形）当成底面,用“底面积×高”求它的体积吗？为什么？

释疑：底面应该相对且大小形状相等，把这个长方形当底面，向后平移后底面不一样了。

以上案例，教师在一道题目的不断变化中，引导学生逐步将解题规律模型化，主动架构柱体体积算理和算法之间的桥梁，加深学生对柱体概念本质的理解，强化对于柱体体积计算方法的记忆。学生在多种算法的整合中，思维水平也从“多点结构”进阶为“关联结构”。

（二）化隐为显，多元归一

有些问题虽然有多种解决的方法，但方法呈现的形式却大相径庭，如果细究就会发现其表示的含义毫无二致。此时，教师需引导学生对这些方法进行结构性的关联和比对，促进其对解题方法和问题意义的通透理解，达到融会贯通的效果。

【案例4】鸡兔同笼：笼子里有若干只鸡和兔，一共8个头，22条腿。鸡和兔各有几只？

（1）问题梳理，发现隐含信息。

提问：我们已经知道了哪些数学信息？求怎样的数学问题？

梳理：鸡兔一共有8只，腿一共有22条。鸡有2条腿，兔有4条腿（隐含）。求的是鸡和兔各有几只。

（2）方法呈现，显化隐含算式。

要求：①想一想：独立思考，用合适的方法解决问题；②说一说：小组间交流想法；③记一记：记录问题研究的过程。

呈现：列表法（从头开始枚举、从尾开始枚举、从中间开始枚举）、画图法（先全部画成鸡、先全部画成兔）。

抽象：用算式表示画图的过程。

（3）本质关联，实现方法融通。

思考：这些方法之间有什么联系吗？

沟通：图中每多两条腿，就是列表中鸡少1只，兔多1只。而算式则是画图的抽象表示，这三种方法表达的意思相同，只是表现的形式不同（如图9）。

图9

小结：所有的方法都需要先假设后调整。

借助一道鸡兔同笼问题，教师逐步引导学生理解画图是对列表的直观呈现，假设是对画图的抽象概括，画图是从列表走向假设的桥梁。借助三种方法的探究与沟通，促进学生对解题方法的深度思考和理解，将这些方法融会贯通，在实现思维可视化的同时，思维水平也得到了进阶。

三、拓展延伸：思维水平由“关联结构”跃升至“抽象扩展”

郑毓信教授指出：“数学核心素养的基本含义就在于：我们应当通过数学教学帮助学生学会思维，并能使他们逐步学会想得更清晰、更深入、更全面、更合理。”若要引导学生思维从关联结构水平跃升至抽象拓展水平，教师需要对习题内容不断地进行挖掘和拓展，以发展学生的思维，开拓学生的视野。

（一）横向拓宽，本质迁移

对原型问题探究完全时，教师还需引导学生进行联想，促其思维横向蔓延，将研究的方法和经验迁移到对其他同类型事物的应用中，培养学生触类旁通和举一反三的意识和能力。

【案例5】怎么围面积大：用24米长的线段，围成一个长方形，怎么围才能使长方形的面积最大呢？（长、宽取整米数）

大部分学生能猜测出围成正方形的面积最大，也能够通过有序的枚举计算验证，但是学习不能到此为止，教师应拓展学生的思维，帮助学生迁移类推，让思维水平再提升一层。

在学生发现“周长一定，长宽越接近，面积越大”“正方形的面积最大”的规律之后，教师继续追问：“还能围成比正方形面积更大的图形吗？”激发学生的活动经验，进行猜测：正五边形、正六边形、正八边形……圆等图形的面积可能会更大。教师继续引导：“用什么办法证明呢？”提供工具让学生探索验证，并用微课深化认知。最终得到结论：周长一定，边数越多，正多边形的面积越大，圆的面积最大。

数学是一门研究关系的学科。教学中顺着长方形的面积变化引导思维延伸到其他平面图形中去，将研究的层次提升到另一种高度，拓宽学生的思维，建构平面图形面积的整体结构。

（二）纵向深入，通透拓展

原型问题解决之后，教师还要有意识地顺着问题背后的知识线索，引导学生不断地向纵深挖掘，从这个问题延伸到其他的问题，并对这个问题再次进行深入探索，将涉及的知识点串联成线。

【案例6】圆柱体积的再认识：用4个面积都是36dm2的长方形（如图10）分别卷成圆柱，哪个圆柱的体积最小？哪个最大？你有什么发现？为什么？

图10

教师以此问题作为知识基点，进行圆柱侧面积和体积的复习。学生经历猜想、计算、观察、探索等过程，发现在侧面积相等的情况下，圆柱体积的变化规律并理解其原理（如图11）。

图11

这是一个基于实践的规律探索和经验积累的过程，其目标指向于知识脉络的通融而非问题解决。在此基础之上，教师可再一次追根深问：面积不变，如果卷成的圆柱体积逐渐变大，长方形的长和宽会怎样变化？

在想象和思辨的过程中，慢慢沟通圆柱侧面积和体积之间的联系，学生认知从特殊走向一般，知识结构从零散走向整体，问题理解从关联走向通透。毫无疑问，由此必将促使学生的学习不断走向深处，思维水平逐步走向高阶。

基于SOLO分类理论的“一题一课”教学设计与实践，可以促使学生在“一课”中深入探究“一题”，积累数学活动经验和思维经验，架构知识整体结构。学生在数学学习过程中往往“屡屡碰壁”，而又始终“乐此不疲”。实践表明，推进“一题一课·高阶导向”主题教研，通过“一题一课”发展学生高阶思维水平，是促进学生核心素养真正提升的有效方式。