■吕利青 张文伟

指数函数与对数函数是高中数学的主要内容,也是高考的常考内容。同学们要理解分数指数幂的概念与运算性质,掌握指数函数的概念、图像与性质;理解对数的概念与运算性质,掌握对数函数的概念、图像和性质。要学会用指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题,要掌握函数的零点以及函数模型的应用。

题型1:指数幂中的条件求值问题

求解此类问题应注意分析已知条件,通过将已知条件中的式子变形(如平方、因式分解等),寻找已知式和待求式的关系,可考虑使用整体代换法。

例1 已知x+y=12,xy=9,且x

题型2:指数函数的概念问题

解决指数函数问题,要注意底数大于0且不等于1这一条件。已知指数函数求参数值的方法:依据指数函数形式列方程或不等式,通过解方程或不等式获解。

例2 若y=(a2-3a+3)ax是指数函数,则( )。

A.a=1或a=2 B.a=1

C.a=2 D.a>0且a≠1

题型3:指数函数的图像问题

解答与指数函数有关的图像问题,只需利用指数函数的图像作平移变换或对称变换即可,值得注意的是作图前要探究函数的定义域和值域,掌握图像的大致趋势。利用熟悉的函数图像作图,主要运用图像的平移、对称等变换,但平移要注意平移的方向和平移的单位。

(1)f(x-1)的图像:将函数f(x)的图像向右平移1个单位长度得f(x-1)的图像(图略)。

(2)-f(x)的图像:由f(x)的图像关于x轴对称得-f(x)的图像(图略)。

(3)f(-x)的图像:由f(x)的图像关于y轴对称得f(-x)的图像(图略)。

由图可知,此函数有三个重要性质:①对称性,图像的对称轴为直线x=1;②单调性,在(-∞,1]上单调递减,在[1,+∞)上单调递增;③函数的值域为[1,+∞)。