■台勤生

数学和生活是相通的,其中函数就是刻画现实世界变量之间关系的一种非常重要的模型。通过建立相应的函数模型,利用数学知识来解决实际应用问题,有利于提升同学们的阅读理解能力与应用能力。

一、指数函数模型

由于指数函数这种爆炸性增长方式的特点,使得指数函数模型多适用于细胞分裂、人口增长、利润增长、银行储蓄等经济生活和社会生活问题。

例1 倡导环保意识、生态意识,构建全社会共同参与的环境治理体系,让生态环保思想成为社会生活中的主流文化。某化工企业探索改良工艺,使排放的废气中含有的污染物数量逐渐减少。已知改良工艺前所排放的废气中含有的污染物数量为2mg/m3,首次改良工艺后所排放的废气中含有污染物数量为1.94mg/m3,设改良工艺前所排放的废气中含有的污染物数量为r0,首次改良工艺后所排放的废气中含的污染物数量为r1,则第n次改良后所排放的废气中的污染物数量rn可由函数模型rn=r0-(r0-r1)·50.5n+p(p∈R,n∈N*)给出,其中n是改良工艺的次数。

(1)试求改良后rn的函数模型。

(2)依据国家环保要求,企业所排放的废气中含有的污染物数量不能超过0.08mg/m3。试问:至少进行多少次改良工艺后才能使企业所排放的废气中含有污染物数量达标? (参考数据:lg2=0.3)

解:(1)由题意得r0=2,r1=1.94,所以当n=1 时,r1=r0-(r0-r1)·50.5+p,即1.94=2-(2-1.94)·50.5+p,解得p=-0.5,所以rn=2-0.06×50.5n-0.5(n∈N*)。

故改良后所排放的废气中含有的污染物数量的函数模型为rn=2-0.06×50.5n-0.5(n∈N*)。

由上可知,至少进行6 次改良工艺后才能使得该企业所排放的废气中含有的污染物数量达标。……