兰开阳，卢博

（西北民族大学数学与计算机科学学院，甘肃兰州 730030）

1 预备知识

若无特殊说明，文中所有的环R均指带单位元的结合环，所有的R-模均指幺模，即设M为左R-模，则对任意的x∈M，有1x=x，其中1 是环R中的单位元。左R-模M的示性模记为M+。设A，B为左R-模，n为正整数，Torn(A，B)和Extn(A，B) 分别指。Ab 表示阿贝尔群范畴；对于环R，R-Mod 表示左R-模范畴，Mod-R表示右R-模范畴。R-Mor 表示对象为左R-模态射、态射为左R-模态射f：M1→M2到左R-模态射g：N1→N2之间的态射范畴，即态射对的交换图：

FU 等［1］提出理想逼近理论，称双边函子HomR(−，−)：R-Modop×R-Mod→Ab 的子加法双边函子为范畴R-Mod 的理想，记为I。对任意2个左R-模M和N，I 中态射M→N构成一个阿贝尔群HomR(M，N)，对I 中任意3 个态射f，g，h，合成fgh有意义且g∈I，则有fgh∈I。理想逼近理论将经典的覆盖与包络理论一般化［2］。如phantom-态射的理想就是范畴R-Mod 的理想。Phantom-态射的研究思想来源于拓扑学中CW-复形之间的态射［3］，NEEMAN［4］首先将phantom-态射的概念应用于三角范畴并做了相关研究。HERZOG［5］将phantom-态射的定义推广至结合环范畴，并做了大量研究。

如果P1，P2是投射左R-模，且f是可裂单态射，则称范畴R-Mor 中态射f：P1→P2是投射 的；如果E1，E2是内射左R-模，且g是可裂满态射，则称范畴R-Mor 中态射g：E1→E2是内射的；如 果F1，F2是平坦左R-模，且h是纯单态射，则称范畴R-Mor 中态射h：F1→F2是平坦的［6］。

2 Torn-单态射、Extn-满态射

Phantom-态射与Ext-phantom-态射的概念最早出现在文献［5］中，下面给出Torn-单态射与Extn-满态射的定义。

定义1设n是正整数，如果对任意的（有限表示）左R-模X，有

满态射，则称左R-模态射f：M→N是Extn-满态射的；如果对任意的（有限表示）右R-模Y，有

单态射，则称左R-模态射g：P→Q是Torn-单态射的。

下面的对偶定义来自文献［8］。……