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聚焦全称量词命题与存在量词命题

2021-12-02■赵

中学生数理化·高一版 2021年9期
关键词:全称真假正数

■赵 军

一、全称量词命题与存在量词命题辨析

判断一个语句是全称量词命题还是存在量词命题的步骤:先判断语句是否为命题,若不是命题,就不是全称量词命题或存在量词命题;若是命题,再分析命题中所含的量词,含有全称量词的命题是全称量词命题,含有存在量词的命题是存在量词命题。

例1(1)现有下列四个命题:

①至少有一个x,使x2+2x+1=0 成立。②对任意的x,都有x2+2x+1=0 成立。③对任意的x,都有x2+2x+1=0不成立。④存在x,使x2+2x+1=0不成立。

其中是全称量词命题的个数为( )。

A.1 B.2

C.3 D.4

(2)判断下列语句是否为全称量词命题或存在量词命题:

①有一个实数a,a不能取对数。②若所有不等式的解集为A,则A⊆R。③菱形是平行四边形吗? ④自然数的平方是正数。

思路:关键是要明确各个命题中分别含有什么量词,根据所含量词来确定是全称量词命题还是存在量词命题。

解析

(1)对于所给的四个命题,只有②③含有全称量词,应选B。

(2)因为①含有存在量词,所以①为存在量词命题。“自然数的平方是正数”的实质是“任意一个自然数的平方都是正数”,易知②④均含有全称量词,即②④为全称量词命题,③不是命题。综上所述,①为存在量词命题,②④为全称量词命题,③不是命题。

感悟:当命题中不含量词时,要注意理解命题含义的实质。一个全称量词(或存在量词)命题往往有多种不同的表述方法,有时可能会省略全称(存在)量词,应结合具体问题多加体会。

二、全称量词命题与存在量词命题的真假判断

全称量词命题的真假判断:要判断一个全称量词命题是真命题,必须对限定集合M中的每个元素x,验证p(x)成立;要判断全称量词命题是假命题,只要能举出集合M中的一个x=x0,使得p(x0)不成立即可。

存在量词命题的真假判断:要判断一个存在量词命题是真命题,只要在限定集合M中,找到一个x=x0,使p(x0)成立即可;否则,这一存在量词命题就是假命题。

例2指出下列命题中,哪些是全称量词命题,哪些是存在量词命题,并判断其真假。

(1)在平面直角坐标系中,任意有序实数对(x,y)都对应一点。

(2)存在一个实数,它的绝对值不是正数。

(3)对任意实数x,都有。

(4)菱形的两条对角线相等。

思路:判断命题的真假,可通过举例的方法来说明。

解析

(1)此命题是全称量词命题。在平面直角坐标系中,任意有序实数对(x,y)与平面直角坐标系中的点是一一对应的,所以该命题是真命题。

(2)此命题是存在量词命题。存在一个实数0,它的绝对值不是正数,所以该命题是真命题。

(3)此命题是全称量词命题。存在x=-1,但=1≠-1,可知该命题是假命题。

(4)此命题是全称量词命题。所有菱形的两条对角线不一定相等,所以该命题是假命题。

感悟:通过“举反例”可以否定一个全称量词命题,同样也可以举例证明一个存在量词命题。肯定全称量词命题或否定存在量词命题都需要推理判断。

三、含有一个量词的命题的否定

对全称量词命题和存在量词命题进行否定的步骤与方法:(1)确定类型,是存在量词命题还是全称量词命题;(2)改变量词,把全称量词换为恰当的存在量词,把存在量词换为恰当的全称量词;(3)否定性质,原命题中“是”“有”“存在”“成立”等改为“不是”“没有”“不存在”“不成立”等。

例3写出下列命题的否定,并判断否命题的真假。

(1)p:不论m取何实数,方程x2+xm=0必有实数根。

(2)q:∃x0∈R,使+1=0。

(3)r:等圆的面积相等,周长相等。

(4)s:∀x∈R,-x+≥0。

思路:先判断命题是全称量词命题还是存在量词命题,再写出它的否定。

解析

(1)该命题可以表述为p:对所有的实数m,方程x2+xm=0有实数根。其否定形式为﹁p:存在实数m,使方程x2+x-m=0没有实数根。

因为当Δ=1+4m<0,即m<-时,一元二次方程x2+x-m=0没有实数根,所以﹁p是一个真命题。

(2)该命题的否定形式是﹁q:∀x∈R,x3+1≠0。因为当x=-1时,x3+1=0,所以﹁q是一个假命题。

(3)该命题的否定形式是﹁r:存在一对等圆,其面积不相等或周长不相等。由平面几何知识可知,﹁r是一个假命题。

(4)该命题的否定形式是﹁s:∃x0∈R,使-x+<0。因为当x=1时,-1+=-<0,所以存在x0,使-x+<0成立,所以﹁s是一个真命题。

感悟:含有一个量词的命题的否定中,全称量词命题的否定是存在量词命题,存在量词命题的否定是全称量词命题。注意有些原命题无关键量词,但隐含其含义,要注意认真辨析。

四、全称量词命题与存在量词命题的应用

全称量词命题的常见题型是“恒成立”问题,全称量词命题为真时,意味着命题对应的集合中的每一个元素都具有某种性质,所以可以代入求解,也可以根据函数等知识来解决。

含有存在量词的命题叫作特称命题。特称命题的常见题型是以适合某种条件的结论“存在”“不存在”“是否存在”等语句表述。解答这类问题,一般要先对结论作出肯定存在的假设,然后从肯定的假设出发,结合已知条件进行推理证明,若推出合理的结论,则存在性随之解决;若导致矛盾,则否定了假设。

例4若命题“∀x∈(3,+∞),x>a”是真命题,则a的取值范围是____。

思路:对于任意x>3,都有x>a恒成立。

解析

对于任意x>3,x>a恒成立,即大于3的数恒大于a,所以a≤3,即a的取值范围是(-∞,3]。

感悟:由于x>3,所以要使x>a恒成立,a=3也满足条件。

感悟与提高

1.命题“∀x∈R,∃n∈N*,使得n≥x2”的否定形式是( )。

A.∀x∈R,∃n∈N*,使得n

B.∀x∈R,∀n∈N*,使得n

C.∃x∈R,∃n∈N*,使得n

D.∃x∈R,∀n∈N*,使得n

提示:原命题是全称命题,其否定应为特称命题。其否定形式应为∃x∈R,∀n∈N*,使得n

2.命题“存在x∈R,使x2+ax-a<0”为假命题,则实数a的取值范围是_____。

提示:命题“存在x∈R,使x2+ax-a<0”为假命题,即x2+ax-a≥0恒成立,所以Δ≤0,即a2+4a≤0,解得-4≤a≤0。故实数a∈[-4,0]。

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