陈萍萍

解二元一次方程组的基本思路是消元， 常用的方法有代入消元法和加减消元法.这两种方法都是通过先消去方程中的一个未知数将二元一次方程组问题转化为一元一次方程问题来求解.那么，消去哪个未知数，用什么方法消元呢？这些问题都会影响解题的速度和准确率.因此，同学们在解题中应根据方程组的特点灵活选用最恰当的消元方法，使计算过程更简捷.

一、代入消元法

1.直接代入消元

在解二元一次方程组时，首先观察方程式，选择系数简单的那个未知数，用含有另一个未知数的代数式表示，直接代入消元.

例1解方程组：

分析：由方程组中的第一个方程可得，再利用代入消元法求解即可.

解：

2.整体带入消元

在解二元一次方程组时可以利用整体思想，将其中一个方程作为整体，直接代入到另一个方程中进行消元求解，简化计算的过程.

例2解下列方程组

分析：将2x -3y看作一个整体，带入方程组求解即可.

解：

3.常值代入消元

当方程组中的两个方程的常数项相同或互为相反数时，可把常数项用含有未知数的代数式表示，再代入消元.

例3解方程组：

分析：方程组中两个方程的常数项都为110，这样可通过代入常数项，得到两个未知数的关系.

解：

4.设参代入消元

当方程组中某个方程含有比值的形式时，可恰当地引入参数，把原有的未知数都用辅助参数表示，化“二元”为“一元”，以達到消元的目的.

分析：由于第一个方程是比值形式，于是可设它们的比值为k，从而将两个未知数都用参数k来表示，然后代入到第二个方程中，即可达到求解目的. .

解：

小结：用代入消元法解答二元一次方程组的关键是选择哪一个方程变形，消哪个元.恰当的选择往往会使计算简单.一般选取的原则是：①选择未知数的系数是1或-1的方程;②常数项为0的方程;③若未知数的系数都不是1或- 1，选系数的绝对值较小的方程.

二、加减消元法

1.直接加减消元

对于未知数含有相同系数或互为相反数的二元一次方程组，可直接采用加减消元法，消去其中一个未知数再求解.

例5解方程组

分析：对于未知数系数互为相反数的二元一次方程组，可直接进行相加消元.

解：

例6解方程组：

分析：对于未知数含有相同系数的二元次方程组，可采用相减消元法.

解：

2.变化系数加减消元

如果方程组中相同未知数的系数的绝对值不相等时，可选择方程组中系数比较简单的那个未知数，寻找此未知数的两个系数的最小公倍数，化成相同或互为相反数的系数后，再进行加减消元.

例7解方程组：

分析：此方程组中x系数更简单，因此，将x系数为1的方程乘以2，与另一个方程相减，即可消掉未知数久，解得y的值，然后再把 y的值代入其中一个方程，即可解出x的值.

解：

3.整体加减消元

对于结构比较复杂或方程中各项系数绝对值较大的二元一次方程组，可先观察两个方程是否存在相同的代数式，若有则可将相同代数式部分视为一个整体，用整体加减法消元求解.

例8

分析：仔细观察题目，不难发现方程组中的每一个方程都含有x-y，因此可把x -y看作一个整体，消去x-y项，得到一个关于y 的一次方程.

解

4.反复加减消元

若两个方程的系数较大，且把一个方程的两个未知数的系数交换位置，就得到另一个方程的系数，则可以将两式分别相加、相减后化简，然后再进行相加相减，利用反复加减消元来解题.

例9

分析：方程组的第一个方程中x、y的系数分别对应等于第二个方程中y、先x系数， 所以，将两个方程先进行一次加减后就可将原方程转化为系数简单的同解方程，再利用加减消元法来解题就很简便了.

解：

小结：用加减消元法解二元一次方程组时，一般有三种情况：①方程组中某个未知数的系数的绝对值相等，则直接利用加减消元法求解.②方程组中任一个未知数的系数的绝对值都不相等，但某个未知数的系数的绝对值成倍数关系，则其中一个方程乘这个倍数后再利用加减法求解.③方程组中任一个未知数的系数的绝对值既不相等，也不成倍数关系，可利用最小公倍数的知识，把两个方程都适当地乘以一个数，使某个未知数的系数的绝对值相等，然后再利用加减法求解.

总之，解方程组的主要思路就是“消元”.一般地，当方程组中某个方程的未知数的系数的绝对值较小或常数项为0时用代入消元法，代入消元法即“一变，二代，三解”;当方程组中两个方程的某个未知数的系数的绝对值相等或互为相反数或成倍数关系时用加减消元法，加减消元法即“一化，二加减，三解”.